Quantification (logique)

vignette|Symboles mathématiques des deux quantificateurs logiques les plus courants.|236px En mathématiques, les expressions « pour tout » (ou « quel que soit ») et « il existe », utilisées pour formuler des propositions mathématiques dans le calcul des prédicats, sont appelées des quantifications. Les symboles qui les représentent en langage formel sont appelés des quantificateurs (ou autrefois des quanteurs). La quantification universelle (« pour tout ... » ou « quel que soit ... ») se dénote par le symbole ∀ (un A à l'envers). Exemple : se lit et signifie « tout objet du domaine considéré possède la propriété P ». La notation « ∀ » a été utilisée pour la première fois par Gerhard Gentzen en 1933 (publié en 1934). Le mot allemand alle signifiant « tout », il propose un . Gentzen indique qu'il a choisi comme « symbole pour tout » (All-Zeichen) le A renversé par analogie avec le symbole « ∃ » pour le quantificateur existentiel qu'il tient de Russell. Quantification existentielle La quantification existentielle (« il existe un ... » au sens « il existe au moins un ... ») se note avec le signe ∃ (un E retourné). Plus précisément, signifie (un objet au moins du domaine considéré possède la propriété P) Pour exprimer l'unicité en plus de l'existence, le signe utilisé est ∃! (le quantificateur existentiel suivi d'un point d'exclamation), plus précisément, signifie il existe un unique x tel que P(x), ou encore il existe un et un seul x tel que P(x) (un objet exactement du domaine considéré possède la propriété P). Ce dernier quantificateur se définit en calcul des prédicats égalitaire à partir des deux quantificateurs précédents (et de l'égalité), par exemple par La notation ∃ a tout d'abord été employée par Giuseppe Peano en 1897 dans le volume II de son Formulaire de mathématiques avec une syntaxe différente, le signe étant directement associé au prédicat (∃ P pour notre ∃x P(x)). Bertrand Russell l'utilise le premier de la façon actuelle, comme un opérateur de liaison. La négation de est : soit : .