Théorème de Cauchy-Peano-Arzelà

Le théorème de Cauchy-Peano-Arzelà est un théorème d'analyse qui garantit qu'un problème de Cauchy possède toujours au moins une solution locale, sous réserve que la fonction définissant l'équation différentielle soit continue. Soient une fonction continue à valeurs dans , définie sur un cylindre compact , un majorant de la norme de sur , Alors, il existe une solution au problème de Cauchy On peut même, dans cet énoncé, remplacer simultanément les deux intervalles centrés en par des demi-intervalles d'extrémité . N. B. Contrairement à ce que permet de conclure le théorème de Cauchy-Lipschitz sous des hypothèses plus restrictives, il n'y a pas unicité ici. Les exemples suivants sont donnés par Peano. L'équation où le second membre est continu en sans être lipschitzien, admet les solutions et qui s'annulent toutes les deux en ainsi que les fonctions qui sont nulles dans l'intervalle et qui prennent la valeur pour . L'équation , toujours avec la condition , admet les cinq solutions ( étant une constante arbitraire positive) : On construit par la méthode d'Euler une suite de fonctions M-lipschitziennes affines par morceauxqui sont des « solutions approchées » de ce problème de Cauchy au sens où pour tout entier n > 0, (pour tout point t en lequel x est dérivable). Le théorème d'Ascoli permet d'en extraire une sous-suite uniformément convergente. On montre alors (en utilisant la continuité uniforme de f) que la limite x vérifie D'après le premier théorème fondamental de l'analyse, x est donc une « solution exacte » du problème de Cauchy. La généralisation « naïve » de l'énoncé aux espaces de dimension infinie est drastiquement fausse : pour tout espace de Banach de dimension infinie, il existe un problème de Cauchy (associé à une fonction continue ) ne possédant pas de solution locale (par translations, les données initiales , peuvent être choisies arbitrairement dans un tel contre-exemple) ; si possède un quotient séparable de dimension infinie, il existe même une fonction continue pour laquelle l'équation différentielle autonome associée n'a aucune solution locale (quelle que soit la condition initiale).