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Concept
Méthode de variation des constantes
Résumé
En mathématiques, et plus précisément en analyse, la méthode de variation des constantes (ou méthode de Lagrange) est une méthode de résolution des équations différentielles.
Elle permet en particulier de déterminer les solutions d'une équation différentielle avec second membre,
connaissant les solutions de l'équation homogène (c'est-à-dire sans second membre) associée.
La méthode a été inventée par le mathématicien et physicien Pierre-Simon de Laplace, pour la résolution des équations différentielles linéaires. Elle tire son nom de ce que, pour l'essentiel, elle consiste à chercher les solutions sous une forme analogue à celle déjà trouvée pour une équation associée plus simple, mais en remplaçant la ou les constantes de cette solution par de nouvelles fonctions inconnues.
Pour une équation différentielle linéaire d'ordre 1, si la solution générale de l'équation homogène
est
on cherche celle de
sous la forme
En reportant dans l'équation initiale, on obtient une équation équivalente à l'équation initiale mais portant sur k :
En notant k une primitive de la fonction c/(az), la solution générale k s'exprime sous la forme
ce qui permet de remonter à l'expression de la solution générale y = y + z :
Pour expliciter z puis k, il faut réaliser deux calculs de primitives. De ce fait, la solution ne s'exprime le plus souvent pas à l'aide des fonctions usuelles (voir à ce sujet le théorème de Liouville).
Pour une équation différentielle linéaire d'ordre deux, mise sous la forme :
Notons et deux solutions formant une base des solutions de l'équation homogène. On cherchera une solution particulière y sous la forme
(d'où le nom de « méthode de variation des constantes »).
On montre que si les fonctions et vérifient le système suivant
alors la fonction y ci-dessus est une solution particulière.
Remarque:
- Puisque le Wronskien ne s'annule pas, et s'obtiennent en utilisant la règle de Cramer. Pour une équation différentielle linéaire d'ordre n avec second membre, on cherchera une solution particulière combinaison linéaire d'un système fondamental de solutions , d'une base de l'espace vectoriel des solutions de l'équation homogène.
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