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Concept
Séparation des variables
Résumé
En mathématiques, la séparation des variables constitue l'une des méthodes de résolution des équations différentielles partielles et ordinaires, lorsque l'algèbre permet de réécrire l'équation de sorte que chacune des deux variables apparaisse dans un membre distinct de l'équation.
Supposons qu'une équation différentielle puisse être écrite de la forme suivante et pour tout x :
que l'on peut écrire plus simplement en identifiant :
Tant que h(y) ≠ 0, on peut réécrire les termes de l'équation pour obtenir :
séparant donc les variables x et y.
Par abus de la notation de Leibniz, on peut préférer écrire cette équation de la manière suivante :
mais cela ne rend pas très évident l'utilisation de l'expression « séparation de variables ».
Par intégration des deux membres de l'équation sur la variable x, on obtient :
ou de manière équivalente :
en raison des règles de substitutions dans les intégrales.
Si l'on considère les deux intégrales, on trouve alors la solution à l'équation différentielle. On remarquera que le procédé permet de manière effective de traiter la dérivée comme une fraction pouvant être séparée. Cela permet de résoudre les équations différentielles séparables plus facilement, comme on le montre dans l'exemple ci-dessous.
(on n'a pas besoin d'utiliser deux constantes d'intégration, dans l'équation (2) comme dans :
car une seule constante est équivalente).
L'équation différentielle ordinaire :
peut être écrite :
Si l'on suppose et , on peut écrire l'équation différentielle sous la forme de l'équation (1) ci-dessus. Ainsi, l'équation différentielle est séparable.
Comme montré au-dessus, on peut traiter et comme des variables séparées, ce qui fait que les deux membres de l'équation peuvent être multipliés par . En divisant par la suite les deux membres de l'équation par , on obtient :
On a donc séparé à ce moment les variables x et y l'une de l'autre, x apparaissant uniquement dans le membre de droite et y dans celui de gauche.
En intégrant les deux membres, on obtient :
qui, en passant par des fractions partielles, devient :
puis :
où C est la constante d'intégration.
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