Concept

Matrice orthogonale

Résumé
Une matrice carrée A (n lignes, n colonnes) à coefficients réels est dite orthogonale si A A = I, où A est la matrice transposée de A et I est la matrice identité. Exemples Des exemples de matrices orthogonales sont les matrices de rotation, comme la matrice de rotation plane d'angle θ :\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} ou les matrices de permutation, comme :\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}. Propriétés
  • Une matrice réelle A est orthogonale si et seulement si elle est inversible et son inverse est égale à sa transposée : A = A.
  • Une matrice carrée est orthogonale si et seulement si ses vecteurs colonnes sont orthogonaux deux à deux et de norme 1. Ainsi une matrice orthogonale représente une base orthonormée.
  • Également, une matrice carrée est orthogonale si et seulement si sa transposée l'est ( A A = I), donc si et seulement si ses vecteurs lignes sont o
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