Concept

Matrice compagnon

Résumé
En algèbre linéaire, la matrice compagnon du polynôme unitaire :p(X)=c_0 + c_1 X + \dots + c_{n-1}X^{n-1} + X^n, est la matrice carrée suivante : :C(p)=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -c_0 \ 1 & 0 & \cdots & 0 & -c_1 \ 0 & 1 & \cdots & 0 & -c_2 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & 1 & -c_{n-1} \ \end{pmatrix}, mais il existe d'autres conventions :
  • la matrice transposée de celle ci-dessus ;
  • une variante de cette transposée : la matrice :\begin{pmatrix} -c_{n-1} & -c_{n-2} & \cdots & -c_1 & -c_0 \ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \ \end{pmatrix}.
Le polynôme caractéristique de C(p) est égal à p (ou (–1)p selon la convention choisie pour le polynôme caractéristique) ; en ce sens, la matrice C(p) est la « compagne » du polynôme p. Si le polynôme p possède n racines distinctes λ1, …, λn (les valeurs propres de C(p)),
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