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Concept
Foncteur
Résumé
Dans la théorie des catégories, un foncteur est une construction transformant les objets et morphismes d'une catégorie en ceux d'une autre catégorie, d'une façon compatible. On parle alors d'une construction fonctorielle ou de fonctorialité. Une telle construction est donc un morphisme entre deux catégories.
Historiquement, les foncteurs furent introduits en topologie algébrique, associant aux espaces topologiques et aux applications continues des objets algébriques tels que les groupes d'homotopie et les morphismes de groupes, permettant ainsi un véritable calcul d'invariants caractérisant ces espaces.
Un foncteur covariant (ou simplement foncteur) d'une catégorie dans une catégorie est constitué des données suivantes :
pour tout objet de , un objet de , noté ;
pour toute flèche de , une flèche de , notée , de source et de but .
On impose les deux axiomes suivants :
pour tout objet X de , ;
pour tout couple de flèches composables de ,
En d'autres termes, un foncteur préserve les domaines et codomaines des morphismes, les flèches identités et la composition.
Un foncteur contravariant G d'une catégorie dans une catégorie est un foncteur covariant de la catégorie opposée (celle obtenue en inversant le sens des flèches dans ) dans . À tout morphisme f : X → Y de , il associe donc un morphisme G(f) : G(Y) → G(X) de , et l'on a la « relation de compatibilité » G(gf) = G(f)G(g).
Le foncteur identité d'une catégorie , souvent noté 1 ou id : → , qui envoie chaque objet et morphisme de sur lui-même.
Considérons trois villes : Paris, Rome et Amsterdam. La catégorie a pour objets ces trois villes. Hom(Paris, Rome) est l'ensemble des chemins de Paris à Rome par exemple. Prenons une carte qui représente ces chemins ; un foncteur consiste à représenter la situation sur une carte avec une perte d'information du fait de l'échelle.
Les foncteurs d'oubli qui envoient les objets d'une catégorie sur des objets d'une autre catégorie en « oubliant » certaines propriétés de ces objets :
le foncteur de Ab dans Grp qui à un groupe abélien associe le groupe lui-même, mais dans la catégorie des groupes (on a « oublié » le fait que le groupe est abélien).
Source officielle
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