Foncteur | EPFL Graph Search

Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?

Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur GraphSearch.

Découvrez-en plus sur les applications Graph.

Dans la théorie des catégories, un foncteur est une construction transformant les objets et morphismes d'une catégorie en ceux d'une autre catégorie, d'une façon compatible. On parle alors d'une construction fonctorielle ou de fonctorialité. Une telle construction est donc un morphisme entre deux catégories. Historiquement, les foncteurs furent introduits en topologie algébrique, associant aux espaces topologiques et aux applications continues des objets algébriques tels que les groupes d'homotopie et les morphismes de groupes, permettant ainsi un véritable calcul d'invariants caractérisant ces espaces. Un foncteur covariant (ou simplement foncteur) d'une catégorie dans une catégorie est constitué des données suivantes : pour tout objet de , un objet de , noté ; pour toute flèche de , une flèche de , notée , de source et de but . On impose les deux axiomes suivants : pour tout objet X de , ; pour tout couple de flèches composables de , En d'autres termes, un foncteur préserve les domaines et codomaines des morphismes, les flèches identités et la composition. Un foncteur contravariant G d'une catégorie dans une catégorie est un foncteur covariant de la catégorie opposée (celle obtenue en inversant le sens des flèches dans ) dans . À tout morphisme f : X → Y de , il associe donc un morphisme G(f) : G(Y) → G(X) de , et l'on a la « relation de compatibilité » G(gf) = G(f)G(g). Le foncteur identité d'une catégorie , souvent noté 1 ou id : → , qui envoie chaque objet et morphisme de sur lui-même. Considérons trois villes : Paris, Rome et Amsterdam. La catégorie a pour objets ces trois villes. Hom(Paris, Rome) est l'ensemble des chemins de Paris à Rome par exemple. Prenons une carte qui représente ces chemins ; un foncteur consiste à représenter la situation sur une carte avec une perte d'information du fait de l'échelle. Les foncteurs d'oubli qui envoient les objets d'une catégorie sur des objets d'une autre catégorie en « oubliant » certaines propriétés de ces objets : le foncteur de Ab dans Grp qui à un groupe abélien associe le groupe lui-même, mais dans la catégorie des groupes (on a « oublié » le fait que le groupe est abélien).

À propos de ce résultat

Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.

Publications associées (14)

Personnes associées (2)

Concepts associés (179)

Cours associés (7)

Séances de cours associées (202)

MOOCs associés (9)

MATH-506: Topology IV.b - cohomology rings

Singular cohomology is defined by dualizing the singular chain complex for spaces. We will study its basic properties, see how it acquires a multiplicative structure and becomes a graded commutative a

MATH-436: Homotopical algebra

This course will provide an introduction to model category theory, which is an abstract framework for generalizing homotopy theory beyond topological spaces and continuous maps. We will study numerous

MATH-111(e): Linear Algebra

L'objectif du cours est d'introduire les notions de base de l'algèbre linéaire et ses applications.

Foncteur

Category (mathematics)

In mathematics, a category (sometimes called an abstract category to distinguish it from a ) is a collection of "objects" that are linked by "arrows". A category has two basic properties: the ability to compose the arrows associatively and the existence of an identity arrow for each object. A simple example is the , whose objects are sets and whose arrows are functions. is a branch of mathematics that seeks to generalize all of mathematics in terms of categories, independent of what their objects and arrows represent.

Groupe (mathématiques)

vignette|Les manipulations possibles du Rubik's Cube forment un groupe. En mathématiques, un groupe est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. C'est un ensemble muni d'une loi de composition interne associative admettant un élément neutre et, pour chaque élément de l'ensemble, un élément symétrique. La structure de groupe est commune à de nombreux ensembles de nombres — par exemple les nombres entiers relatifs, munis de la loi d'addition.

Transformations naturelles : Functor L

Explore les transformations naturelles dans la théorie des catégories en mettant l'accent sur le functeur L et ses propriétés algébriques.

Transfert de structures modèles

Couvre le transfert de structures de modèles par des adjonctions dans le contexte des catégories de modèles.

Composition des transformations naturelles

Couvre la théorie des catégories, soulignant l'importance de la nature dans la composition des transformations.

We determine the dimension of every simple module for the algebra of the monoid of all relations on a finite set (i.e. Boolean matrices). This is in fact the same question as the determination of the

2020

Simple and projective correspondence functors

Jacques Thévenaz, Serge Bouc

A correspondence functor is a functor from the category of finite sets and correspondences to the category of k-modules, where k is a commutative ring. We determine exactly which simple correspondence

2019

Correspondence functors and lattices

Jacques Thévenaz, Serge Bouc

A correspondence functor is a functor from the category of finite sets and correspondences to the category of k-modules, where k is a commutative ring. A main tool for this study is the construction o

2019

Un MOOC francophone d'algèbre linéaire accessible à tous, enseigné de manière rigoureuse et ne nécessitant aucun prérequis.