Représentation admissible

En mathématiques, les représentations admissibles forment une classe de représentations qui se comportent bien utilisée dans la théorie des représentations des groupes de Lie réductifs et des groupes localement compacts totalement discontinus. Elles ont été introduits par Harish-Chandra. Soit G un groupe de Lie connexe réductif réel ou complexe. Soit K un sous-groupe compact maximal. Une représentation continue (π, V ) de G sur un espace de Hilbert complexe V est dite admissible si la restriction de π à K est unitaire et si chaque représentation unitaire irréductible de K y figure avec une multiplicité finie. L'exemple prototypique est celui d'une représentation unitaire irréductible de G. Une représentation admissible π induit un -module qui est plus facile à étudier car c'est un objet algébrique. Deux représentations admissibles sont dites infinitésimalement équivalentes si les -modules associés sont isomorphes. Bien que pour les représentations admissibles générales, cette notion soit différente de l'équivalence habituelle, c'est un résultat important que les deux notions d'équivalence coïncident pour les représentations unitaires (admissibles). De plus, il existe une notion d'unitarité de -modules. Cela réduit l'étude des classes d'équivalence des représentations unitaires irréductibles de G à l'étude des classes d'équivalence infinitésimales des représentations admissibles et à la détermination de celles de ces classes qui sont infinitésimalement unitaires. Le problème de paramétrage des classes d'équivalence infinitésimales des représentations admissibles a été entièrement résolu par Robert Langlands et s'appelle la classification de Langlands. Soit G un groupe totalement discontinu localement compact (par exemple un groupe algébrique réductif sur un corps local non archimédien ou sur les adèles finies d'un corps global). Une représentation (π, V) de G sur un espace vectoriel complexe V est dite lisse si le sous-groupe stabilisateur dans G de tout vecteur de V est ouvert.