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Concept
Courbe implicite
Résumé
vignette|402x402px| Ovales de Cassini :(1) a = 1,1 , c=1 (au dessus),(2) a = c = 1 (au milieu),(3) a = 1, c = 1,05 (au dessous)|gauche
En mathématiques, une courbe implicite (en coordonnées cartésiennes) est une courbe plane définie par une équation implicite reliant les deux coordonnées x et y d'un point de . Par exemple, le cercle unité est défini par l'équation implicite . Dans le cas général, une courbe implicite est définie en coordonnées cartésiennes par une équation de la forme
où F est une fonction de deux variables. Elle peut donc être considérée comme l'ensemble des zéros d'une telle fonction. Implicite signifie que l'équation n'est pas sous une forme où y a été explicité en fonction de x, ou l'inverse.
Si est un polynôme à deux variables, la courbe correspondante est dite algébrique, et il existe des méthodes spécifiques pour l'étudier.
Les courbes planes peuvent être représentées en coordonnées cartésiennes sous trois formes, dont l'une est la forme implicite vue ci-dessus, une autre, la forme explicite (ou ), et la troisième, la forme paramétrique, où les coordonnées x et y sont représentées par deux fonctions dépendant d'un paramètre commun vignette|300x300px| Courbe implicite : En pratique les courbes implicites ont pour inconvénient principal une visualisation difficile. Mais il existe des programmes informatiques permettant de les représenter. Les propriétés particulières des courbes implicites en font des outils indispensables en géométrie et en infographie.
vignette|400x400px| Courbe implicite comme courbes de niveau de la surface Voici des exemples de courbes implicites :
une droite :
un cercle :
la parabole semi-cubique :
les ovales de Cassini : (voir figure ci-dessus),
(voir figure).
Les quatre premiers exemples sont algébriques, mais pas le dernier. Les courbes des trois premiers exemples possèdent des représentations paramétriques simples, ce qui n'est pas le cas des quatrième et cinquième exemples. Ce dernier montre que la structure géométrique d'une courbe implicite peut éventuellement être complexe.
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