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Concept
Simulation des grandes structures de la turbulence
Résumé
La simulation des grandes structures de la turbulence (SGS ou en anglais LES pour Large Eddy Simulation) est une méthode utilisée en modélisation de la turbulence. Elle consiste à filtrer les petites échelles qui sont modélisées et en calculant directement les grandes échelles de la cascade turbulente.
Cette méthode a été introduite par Joseph Smagorinsky en 1963 et utilisée pour la première fois par James W. Deardoff en 1970. Elle permet de calculer un écoulement turbulent en capturant les grandes échelles pour un coût raisonnable. Le milieu aux petites échelles étant raisonnablement supposé isotrope peut être décrit par une méthode simple. Les problèmes de couche limite, de flamme de diffusion ou problèmes diphasiques requièrent des modèles adaptés.
La première étape du processus consiste à définir un filtre passe-bas G pour la vitesse u par l'intermédiaire du produit de convolution. On traite ici d'un filtre spatial mais il est possible d'utiliser des filtres spatio-temporels.
Le filtre est normalisé
Ce n'est pas un projecteur : .
Cet opérateur commute avec la dérivée en temps mais ne commute avec la dérivée en espace que si G est le même en tout point.
On traite ci-dessous les équations de Navier-Stokes dans un fluide incompressible. On écrit la vitesse sous la forme de la somme de la valeur filtrée et d'une perturbation de petite échelle, laquelle n'a la signification d'une fluctuation temporelle comme dans la moyenne de Reynolds
Dans les équations de Navier-Stokes dans un fluide incompressible
on peut alors écrire les équations de Navier-Stokes filtrées
où ρ est la masse volumique, p la pression et
{|
|-
| || le tenseur des déformations
|-
| || le tenseur des contraintes visqueuses
|}
μ est la viscosité dynamique et tij est le tenseur introduit par Anthony Leonard
On remarquera que si G était l'opérateur moyenne de Reynolds les quatre premiers termes s'annuleraient. Par ailleurs si tij respecte l'invariance galiléenne, ce n'est pas vrai pour chacun des termes qui le composent.
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