Chemin (topologie)

En mathématiques, notamment en analyse complexe et en topologie, un chemin est la modélisation d'une succession continue de points entre un point initial et un point final. On parle aussi de chemin orienté. Soit X un espace topologique. On appelle chemin ou arc sur X toute application continue . Le point initial du chemin est f(0) et le point final est f(1). Ces deux points constituent les extrémités du chemin. Lorsque A désigne le point initial et B le point final du chemin (cf. figure ci-dessus), on parle alors de « chemin reliant A à B ». Il faut noter qu'un chemin n'est pas seulement un sous-ensemble de X qui « ressemble » à une courbe, mais il comprend également un paramétrage. Par exemple, les applications et représentent deux chemins différents de 0 à 1 sur la droite réelle R. De la même manière, si nous considérons une lemniscate de Bernoulli, elle peut être "parcourue" de deux manières différentes, alors que la lemniscate en tant qu'ensemble est la même dans les deux cas. Si est le cercle unité tout entier, mais tout point de ce cercle est obtenu pour |n| valeurs distinctes de t; on dit encore que est le "cercle unité parcouru fois". L’ensemble des chemins sur X forme un espace topologique avec une fibration sur X. Un lacet sur X est un chemin dont les deux extrémités sont identiques. En particulier, si est constante, est réduit à un seul point("chemin constant"). Un espace topologique sur X dans lequel deux points quelconques sont toujours reliés par un chemin est dit connexe par arcs. Tout espace peut être décomposé en un ensemble de composantes connexes par arcs. L'ensemble des composantes connexes par arcs d'un espace X est souvent noté . Homotopie Les chemins et les lacets sont des sujets centraux d'étude pour la branche de la topologie algébrique appelée théorie de l'homotopie. Une homotopie de chemins rend précise la notion de déformation continue d'un chemin en laissant fixes les extrémités. En bref, une homotopie de chemins dans X est une famille de chemins indexée par telle que et sont fixés ; l'application définie par est continue.