Topologie initiale

En mathématiques, plus précisément en topologie, la topologie initiale, sur un ensemble muni d'une famille d'applications à valeurs dans des espaces topologiques, est la topologie la moins fine pour laquelle toutes ces applications sont continues. Deux cas particuliers importants de topologies initiales sont la topologie induite et la topologie produit. La notion duale est celle de topologie finale. Soient X un ensemble et (fi)i∈I une famille d'applications, chacune définie sur X et à valeurs dans un espace topologique Yi. La topologie initiale associée à ces données est la moins fine topologie sur X pour laquelle toutes les fi sont continues. Autrement dit, c'est la topologie engendrée par l'ensemble de toutes les parties de X de la forme , où i appartient à I et où U est un ouvert de l'espace Yi correspondant. Sur une partie d'un espace topologique, la topologie induite est la topologie initiale associée à l'injection canonique. Sur un ensemble-produit d'(ensembles sous-jacents à des) espaces topologiques, la topologie produit est la topologie initiale associée aux projections canoniques. Une limite projective d'espaces topologiques est la limite projective des ensembles sous-jacents (qui est une partie du produit) munie, à nouveau, de la topologie initiale associée aux projections. La topologie faible sur un espace vectoriel topologique est la topologie initiale associée aux éléments de son dual topologique, c'est-à-dire aux formes linéaires continues. Dans le treillis des topologies sur un ensemble X, la borne supérieure d'une famille (τ), c'est-à-dire la topologie engendrée par l'union des topologies τ (vues comme ensembles d'ouverts), est la topologie initiale associée aux fonctions id : X → (X, τ). Une topologie est complètement régulière si et seulement si elle est initiale pour la famille de ses fonctions continues (ou celle de ses fonctions continues bornées) à valeurs dans R. Toute topologie est initiale pour la famille de ses fonctions continues à valeurs dans l'espace de Sierpiński.