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Concept
Algèbre vertex
Résumé
vignette|Richard Borcherds
En mathématiques, une algèbre vertex est une structure algébrique qui joue un rôle important en théorie conforme des champs et dans les domaines proches en physique. Ces structures ont aussi montré leur utilité en mathématiques dans des contextes comme l'étude du groupe Monstre et la correspondance de Langlands géométrique.
Les algèbres vertex ont été introduites par Richard Borcherds en 1986, motivées par les opérateurs vertex intervenant lors de l'insertion de champs, dans la théorie conforme des champs en dimension 2. Comme exemples importants, on peut citer les algèbres vertex associées aux réseaux, celle provenant des modules sur les algèbres de Kac-Moody, celles provenant de l'algèbre de Virasoro et enfin le module moonshine V♮ construit par Frenkel, Lepowsky et Meurman en 1988.
Les axiomes des algèbres vertex sont une version algébrique de ce que les physiciens appellent une algèbre chirale, dont la définition rigoureuse a été donnée par Beilinson et Drinfeld.
Une algèbre vertex est un espace vectoriel , muni d'un élément unité , d'un endomorphisme appelé opérateur de translation et d'une application (linéaire) de multiplication
qu'on écrit
vérifiant les axiomes suivants :
(Identité) Pour tout ,
et (autrement dit, pour et ),
(Translation) , et pour tous ,
(4 points) Pour tous , il existe un élément
tel que , , et sont les expansions de dans , , et , respectivement.
L'application de multiplication est souvent vue comme une correspondance entre états et champs (où est l'ensemble des champs sur , c'est-à-dire l'ensemble des séries telles que pour tout vecteur on a ) associant une distribution formelle à coefficient opérateurs (un opérateur vertex) à chaque vecteur. Physiquement, la correspondance est une insertion à l'origine et est un générateur infinitésimal des translations. L'axiome des 4 points mélange l'associativité et la commutativité, aux singularités près.
Remarque : l'axiome de translation entraîne que , donc est uniquement déterminé par .
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