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Concept
Monstrous moonshine
Résumé
En mathématiques, monstrous moonshine est un terme anglais conçu par John Horton Conway et Simon P. Norton en 1979, utilisé pour décrire la connexion, alors totalement inattendue, entre le groupe Monstre M et les formes modulaires (en particulier la fonction j).
Précisément, Conway et Norton, suivant une observation initiale de John McKay, trouvèrent que le développement de Fourier de (, où désigne le ) pouvait être exprimé en termes de combinaisons linéaires des dimensions des représentations irréductibles de M ()
où et
Conway et Norton formulèrent des conjectures concernant les fonctions obtenues en remplaçant les traces sur l'élément neutre par les traces sur d'autres éléments g de M. La partie la plus saisissante de ces conjectures est que toutes ces fonctions sont de genre zéro. En d'autres termes, si est le sous-groupe de SL2() qui fixe , alors le quotient du demi-plan supérieur du plan complexe par est une sphère privée d'un nombre fini de points, correspondant aux formes paraboliques de .
Il s'avère que derrière monstrous moonshine se trouve une certaine théorie des cordes ayant le groupe Monstre comme groupe de symétries ; les conjectures faites par Conway et Norton furent démontrées par Richard Ewen Borcherds en 1992 en utilisant le issu de la théorie des cordes, ainsi que la théorie des algèbres vertex et des algèbres de Kac-Moody . Borcherds reçut la médaille Fields pour son travail, et des connexions supplémentaires entre M et la fonction j furent découvertes ultérieurement.
La première conjecture faite par Conway et Norton fut ce que l'on appela la « conjecture moonshine » ; elle établit qu'il existe un M-module gradué de dimension infinie
avec pour tout m, où
De ceci, il s'ensuit que chaque élément g de M agit sur chaque Vm et possède une valeur de caractère
qui peut être utilisée pour construire la série de McKay-Thompson de g :
La deuxième conjecture de Conway et Norton établit ensuite qu'avec V comme ci-dessus, pour chaque élément g de M, il existe un sous-groupe K de , de genre zéro, commensurable avec le groupe modulaire Γ = PSL2(Z), et tel que soit la fonction modulaire principale normalisée pour K.
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