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Concept
Propriété topologique
Résumé
En topologie et dans les domaines connexes des mathématiques, une propriété topologique (ou invariant topologique) est une propriété sur un espace topologique qui reste invariant sous l'application d'homéomorphismes. C'est-à-dire que chaque fois qu'un espace topologique X possède cette propriété, chaque espace homéomorphe à X possède également cette propriété. De manière informelle, une propriété topologique est une propriété qui peut entièrement être exprimée à l'aide d'ensemble ouverts.
Un problème courant en topologie consiste à savoir si deux espaces topologiques sont homéomorphes ou non. Pour prouver que deux espaces ne sont pas homéomorphes, il suffit de trouver une propriété topologique qu'ils ne partagent pas.
Le cardinal |X| de l'espace topologique X.
Le cardinal τ(X) de l'ensemble des ouverts de l'espace topologique X.
Le Poids w(X) qui correspond au plus petit cardinal d'une base de la topologie de l'espace X.
La Densité d(X) qui correspond au plus petit cardinal d'un sous-ensemble de X dont l'adhérence est X.
Notez que certains de ces termes sont définis différemment dans la littérature mathématique plus ancienne; voir l'histoire des axiomes de séparation.
T0 ou de Kolmogorov. Un espace est de Kolmogorov si, pour chaque couple de points distincts x et y, il existe au moins soit un ensemble ouvert contenant x mais pas y, soit un ensemble ouvert contenant y mais pas x .
T1 ou de Fréchet . Un espace est de Fréchet si pour chaque paire de points distincts x et y dans l'espace, il existe un ensemble ouvert contenant x mais pas y. (Comparez avec T0; ici, nous sommes autorisés à spécifier quel point sera contenu dans l'ensemble ouvert.) De manière équivalente, un espace est T1 si tous ses singletons sont fermés. Les espaces T1 sont toujours T0 .
Sobre. Un espace est sobre si chaque ensemble fermé irréductible C a un point générique unique p. En d'autres termes, si C n'est pas l'union (éventuellement non disjointe) de deux sous-ensembles fermés plus petits, alors il existe un p tel que la fermeture de { p } est égale à C et que p est le seul point avec cette propriété.
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Espace de Stone
vignette|Un ensemble fini de points isolés les uns des autres est un exemple d'espace de Stone. En mathématiques, plus précisément en topologie, un espace de Stone est un espace topologique compact qui est « le moins connexe possible », au sens où l'ensemble vide et les singletons sont ses seules parties connexes. Le concept d'espace de Stone et ses propriétés de base ont été découverts et étudiés par Marshall Stone en 1936. Un espace de Stone est un espace compact totalement discontinu. Tout espace fini discret est de Stone.