Symboles de Christoffel
En mathématiques et en physique, les symboles de Christoffel (ou coefficients de Christoffel, ou coefficients de connexion) sont une expression de la connexion de Levi-Civita dérivée du tenseur métrique. Les symboles de Christoffel sont utilisés dans les calculs pratiques de la géométrie de l'espace : ce sont des outils de calculs concrets, par exemple pour déterminer les géodésiques des variétés riemanniennes, mais en contrepartie leur manipulation est relativement longue, notamment du fait du nombre de termes impliqués. Ce sont des outils de base utilisés dans le cadre de la relativité générale pour décrire l'action de la masse et de l'énergie sur la courbure de l'espace-temps. Au contraire, les notations formelles pour la connexion de Levi-Civita permettent l'expression de résultats théoriques de façon élégante, mais n'ont pas d'application directe pour les calculs pratiques. Ces symboles ont pour éponyme le mathématicien allemand Elwin Bruno Christoffel (-) qui les a introduits en dans un article daté du . Les définitions données ci-dessous sont valides à la fois pour les variétés riemanniennes et les variétés pseudo-riemanniennes, telles que celles utilisées en relativité générale. On utilise de même la notation des indices supérieurs pour les coordonnées contravariantes, et inférieurs pour les coordonnées covariantes. Dans une variété riemanienne ou pseudo-riemanienne , il n'existe pas de système de coordonnées qui s'applique à toute la variété. On peut néanmoins définir localement un repère de Lorentz (voir définition d'une variété topologique : on peut trouver en chaque point de un voisinage ouvert homéomorphe à un ouvert de l'espace ). La dérivée covariante permet d'évaluer l'évolution d'un champ de vecteurs en prenant en compte non seulement ses modifications intrinsèques, mais aussi celle du système de coordonnées. Ainsi, si on prend un repère en coordonnées polaires, les deux vecteurs et ne sont pas constants et dépendent du point étudié. La dérivée covariante permet de prendre en compte ces deux facteurs d'évolution.
