La mesure de Lebesgue est une mesure qui étend le concept intuitif de volume à une très large classe de parties de l'espace. Comme l'a immédiatement perçu son inventeur, Henri Lebesgue, elle permet de bâtir une théorie de l'intégration très performante et fondamentale en analyse moderne : la théorie de l'intégrale de Lebesgue.
Plusieurs constructions bien différentes de la mesure de Lebesgue sont connues. Chacune d'entre elles peut naturellement être prise pour définition ; dans le cadre d'un article où il faut toutes les évoquer, il est prudent de fournir en ouverture une définition plus unificatrice. Celle-ci, grosso modo, caractérise la mesure de Lebesgue comme la « meilleure » mesure donnant les valeurs auxquelles on s'attend sur les solides usuels — la considération des parallélépipèdes rectangles suffisant à conclure, et même les seuls parallélépipèdes aux côtés parallèles aux axes. Dans le théorème d'existence et d'unicité donné ci-dessous, l'unicité est relativement facile alors que l'existence est la partie substantielle de la preuve : la difficulté est bien de construire la mesure souhaitée.
Dans l'énoncé qui suit, on entend par « pavés » les produits cartésiens d'intervalles bornés, c'est-à-dire les ensembles de la forme I × I × ... × I, où les I sont des intervalles de R qui peuvent être fermés, ouverts ou semi-ouverts.
On notera λ la mesure de Lebesgue et la tribu de Lebesgue. Les éléments de cette tribu sont dits ensembles Lebesgue-mesurables ; en l'absence de référence à une tribu spécifique, c'est généralement ce qu'on entend quand on parle de « partie mesurable » de R ou d'un espace à dimensions. La « mesure de Borel-Lebesgue » est le plus souvent appelée mesure de Lebesgue — ce n'est pas très gênant parce qu'une mesure et sa complétée partagent bon nombre de caractéristiques et notamment ont les mêmes espaces de fonctions intégrables. Le lecteur rencontrant une allusion à la « mesure de Lebesgue » restera tout de même sur ses gardes, notamment en théorie des mesures produits et des intégrales multiples où les énoncés peuvent être légèrement différents pour l'une et l'autre de ses variantes.
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The course is based on Durrett's text book
Probability: Theory and Examples.
It takes the measure theory approach to probability theory, wherein expectations are simply abstract integrals.
Dans ce cours on définira et étudiera la notion de mesure et d'intégrale contre une mesure dans un cadre général, généralisant ce qui a été fait en Analyse IV dans le cas réel.
On verra aussi quelques
En mathématiques, une mesure positive (ou simplement mesure quand il n'y a pas de risque de confusion) est une fonction qui associe une grandeur numérique à certains sous-ensembles d'un ensemble donné. Il s'agit d'un important concept en analyse et en théorie des probabilités. Intuitivement, la mesure d'un ensemble ou sous-ensemble est similaire à la notion de taille, ou de cardinal pour les ensembles discrets. Dans ce sens, la mesure est une généralisation des concepts de longueur, aire ou volume dans des espaces de dimension 1, 2 ou 3 respectivement.
En mathématiques, et plus précisément en topologie, la dimension de Hausdorff d'un espace métrique (X,d) est un nombre réel positif ou nul, éventuellement l'infini. Introduite en 1918 par le mathématicien Felix Hausdorff, elle a été développée par Abram Besicovitch, c'est pourquoi elle est parfois appelée dimension de Hausdorff-Besicovitch. L'exemple le plus simple est l'espace euclidien de dimension (au sens des espaces vectoriels) égale à n (ou plus généralement un espace vectoriel réel de dimension n muni d'une distance associée à une norme) : sa dimension de Hausdorff d est aussi égale à n, dimension de l'espace vectoriel.
En mathématiques, un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entière et une liste finie ou infinie de décimales. Cette définition s'applique donc aux nombres rationnels, dont les décimales se répètent de façon périodique à partir d'un certain rang, mais aussi à d'autres nombres dits irrationnels, tels que la racine carrée de 2, π et e.
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