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Concept
Parité (arithmétique)
Résumé
En arithmétique modulaire, étudier la parité d'un entier, c'est déterminer si cet entier est ou non un multiple de deux. Un entier multiple de deux est un entier pair, les autres sont les entiers impairs.
L'opposition pair/impair apparaît chez Épicharme (vers 490 av. J.-C.) : (Diogène Laërce, III, 11).
Chez les pythagoriciens, la notion de limité est positive comme celle d'illimité négative, et le nombre impair est masculin, limité, positif, tandis que le nombre pair est féminin, illimité, négatif. Aristote explique cette correspondance entre impair et limité, pair et illimité à partir de la représentation des nombres par un gnomon, figure coudée à angles droits qui reste quand on détache d'un carré un carré plus petit :
Euclide, dans ses Éléments (Livre VII et Livre IX - propositions 21 et suivantes), étudie les propriétés des nombres pairs et impairs et définit aussi les nombres pairement pairs (double d'un nombre pair), pairement impairs (produit d'un nombre pair et d'un nombre impair), impairement impair (produit de deux nombres impairs) mais exclut de son étude le nombre 1 et le nombre 0.
Tout entier est soit pair soit impair.
S'il est multiple de deux, c'est un nombre pair. Par exemple, les nombres : -4, 8, et 60, sont pairs. Le nombre zéro est pair, parce qu'il est égal à 2 multiplié par 0.
Sinon, le nombre est impair. Par exemple -5, 3, et 71 sont impairs. Le nombre un est impair, c'est le plus petit entier naturel impair.
L'ensemble des entiers naturels pairs peut être écrit comme ceci :
Entiers naturels pairs = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,...} =
et l'ensemble des entiers relatifs pairs peut s'écrire comme ceci :
Entiers relatifs pairs = {..., –8, –6, –4, –2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,...} =
De même, les ensembles des entiers impairs naturels ou relatifs s'écrivent :
Entiers naturels impairs = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...} =
Entiers relatifs impairs = {..., –9, –7, –5 , –3, –1, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,...} =
Tout entier naturel pair sauf zéro se décompose de manière unique en produit d'une puissance de deux et d'un entier naturel impair.
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