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Concept
Diviseur
Résumé
Le mot “diviseur” a deux significations en mathématiques. Une division est effectuée à partir d’un “dividende” et d’un “diviseur”, et une fois l’opération terminée, le produit du “quotient” par le diviseur augmenté du “reste” est égal au dividende. En arithmétique, un “diviseur” d'un entier n est un entier dont n est un multiple. Plus formellement, si d et n sont deux entiers, d est un diviseur de n seulement s'il existe un entier k tel que . Ainsi est un diviseur de car .
La notion de diviseur est liée à celle de multiple, car si d divise n alors n est un multiple de d, et à la notion de divisibilité.
Le nom vient de l'opération arithmétique de division : si a, b sont des entiers avec b non nul, et si c = a/b est un entier, alors a est le dividende, b le diviseur et c le quotient.
Si l'entier n est nul, tout entier divise n.
Si l'entier n est non nul, il possède des diviseurs positifs et négatifs, mais pas de diviseur nul. Si d est un diviseur de n alors –d est aussi un diviseur de n. Ces observations expliquent pourquoi on ne s’intéresse souvent qu'aux diviseurs positifs d'un entier positif. Par la suite, on se placera dans cette situation.
Ainsi l'ensemble des diviseurs (positifs) de 10 est {1, 2, 5, 10} et celui de 60 est {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}.
Si d est un diviseur de n, tout diviseur de d est aussi un diviseur de n. Cette propriété induit une sorte de hiérarchie parmi les diviseurs d'un entier qui peut être visualisée sous forme d'un diagramme de Hasse.
Si n est égal à 1, n ne possède qu'un seul diviseur : 1.
Tout entier n strictement supérieur à 1 possède au moins deux diviseurs 1 et n qui sont appelés ses diviseurs triviaux. Un diviseur de n différent de n est un diviseur strict de n (ou partie aliquote — le terme diviseur propre est utilisé comme synonyme tantôt de diviseur strict, tantôt de diviseur non trivial). Un entier n qui possède exactement deux diviseurs est appelé un nombre premier. Un nombre premier diviseur de n est appelé un diviseur premier de n.
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