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Concept
Polynôme symétrique
Résumé
En mathématiques, un polynôme symétrique est un polynôme en plusieurs indéterminées, invariant par permutation de ses indéterminées. Ils jouent notamment un rôle dans les relations entre coefficients et racines.
Soit A un anneau commutatif unitaire. Un polynôme Q(T, ..., T) en n indéterminées à coefficients dans A est dit symétrique si pour toute permutation s de l'ensemble d'indices {1, ..., n}, l'égalité suivante est vérifiée :
Exemples
Pour n = 1, tout polynôme est symétrique.
Pour n = 2, le polynôme T + T est symétrique alors que le polynôme T + T ne l'est pas.
Pour n = 3, le polynôme (T – T)(T – T)(T – T) est symétrique ;
Une classe importante de polynômes symétriques est constituée par les sommes de Newton, définies par p(T1, ..., Tn) = T.
Les polynômes symétriques forment une sous-A-algèbre associative unitaire de A[T1, ..., Tn]. Une famille génératrice est donnée par les polynômes symétriques élémentaires comme on verra ci-après.
Pour 0 ≤ k ≤ n, le k-ième polynôme symétrique élémentaire en n variables, σ(T, ..., T), que nous noterons plus simplement σ(T, ..., T) est la somme de tous les produits de k d'entre ces variables, c'est-à-dire, en notant l'ensemble des combinaisons de k nombres pris dans l'ensemble {1, 2, ..., n} :
Ce polynôme est bien symétrique, puisqu'une permutation du groupe symétrique S envoie bijectivement une telle combinaison sur une autre.
Exemples
si ;
Cas n = 3 : ,
Cas n = 4 : ;
Cas n = 4 : .
Une définition équivalente des polynômes symétriques élémentaires est :
Exemples
n = 1 : ;
n = 2 : ;
n = 3 : .
D'après cette définition, si un polynôme unitaire R(X) de degré n en une indéterminée admet une factorisation
en facteurs de degré 1, alors les coefficients du polynôme R sont donnés comme fonctions symétriques des racines zi, c'est-à-dire :
Pour tout polynôme symétrique Q(T1, ..., Tn) à coefficients dans A, il existe un unique polynôme P en n indéterminées à coefficients dans A tel que
Plus formellement : le morphisme d'algèbres
est injectif, et a pour image la sous-algèbre des polynômes symétriques.
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