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Concept
Polynôme symétrique
Résumé
En mathématiques, un polynôme symétrique est un polynôme en plusieurs indéterminées, invariant par permutation de ses indéterminées. Ils jouent notamment un rôle dans les relations entre coefficients et racines.
Définition
Soit A un anneau commutatif unitaire. Un polynôme Q(T, …, T) en n indéterminées à coefficients dans A est dit symétrique si pour toute permutation s de l'ensemble d'indices {1, …, n}, l'égalité suivante est vérifiée :
:Q(T_1,\dots,T_n)=Q(T_{s(1)},\dots,T_{s(n)}).
;Exemples
:*Pour n = 1, tout polynôme est symétrique.
:*Pour n = 2, le polynôme T + T est symétrique alors que le polynôme T + T ne l'est pas.
:*Pour n = 3, le polynôme (T – T)(T – T)(T – T) est symétrique ;
:*Une classe importante de polynômes symétriques est constituée par les sommes de Newton, définies par p(T1, …, Tn) = \Sigma_{i=1}^n T.
Polynômes symétriques élémentaires
Les polynômes symétriques forment une sous-A-algèbre associative unitaire
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