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Concept
Relations entre coefficients et racines
Résumé
vignette|portrait de François Viète.
Un polynôme de degré sur un corps K s'écrit sous sa forme la plus générale :
où est appelé coefficient de .
Si est scindé, on peut aussi le définir grâce à ses racines, c'est-à-dire l'ensemble des valeurs de qui annulent . Ainsi, le théorème de d'Alembert-Gauss garantit que tout polynôme de degré à coefficients complexes admet exactement racines sur , éventuellement multiples (sur en revanche, ce n'est pas toujours vrai). Il en résulte qu'un polynôme à coefficients complexes peut se réécrire :
avec les racines de , éventuellement multiples. Les relations entre les coefficients et les racines portent le nom de François Viète, le premier à les avoir énoncées dans le cas de racines positives.
Polynôme symétrique
On définit le -ième polynôme symétrique à indéterminées, noté , comme la somme de tous les produits à facteurs de ses indéterminées. (Il y a tels produits possibles.) Par exemple, les polynômes symétriques associés aux indéterminées , , et sont :
Plus généralement, en considérant les polynômes symétriques à indéterminées,
Soient un polynôme scindé de degré et ses racines (les racines multiples étant comptées plusieurs fois). Alors pour tout ,
ce qui peut encore s'écrire
Ces relations se prouvent en développant le produit , et en identifiant les coefficients du développement (qui s'expriment à partir des polynômes symétriques des racines) avec les coefficients de .
Cas . Soient et ses racines. Alors,
Cas . Soient et ses racines. Alors,
Identités de Newton
On se donne le polynôme avec , , ses racines. On veut déterminer la somme . Pour cela, on dispose de l'identité suivante :
si bien que, d'après les relations de Viète :
Les sommes de Newton sont une généralisation de ce principe. On pose , où les sont les racines de (en particulier, ). La méthode présentée dans l'exemple se généralise, mais les calculs deviennent compliqués. On peut par contre démontrer directement que, pour :
En raison de leur expression polynomiale, les coefficients d'un polynôme à coefficients complexes sont des fonctions continues de ses racines.
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