Concept
Matrice laplacienne
Concepts associés (15)
Laplacien discret
En mathématiques, le laplacien discret est une analogie du laplacien continu adaptée au cas de problèmes discret (graphes, par exemple). Il est notamment employé en analyse numérique, par exemple dans le cadre de la résolution de l'équation de la chaleur par la méthode des différences finies, ou en pour la détection de contours. Soit une fonction réelle de deux variables réelles et et . On définit le laplacien discret de comme la somme des dérivées secondes discrètes selon et selon , soit : L'exemple précédent est décrit dans une grille régulière cartésienne de dimension (plan).
Valeur propre, vecteur propre et espace propre
En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte comme une dilatation, multipliant les vecteurs par une même constante. Ce rapport de dilatation est appelé valeur propre, les vecteurs auxquels il s'applique s'appellent vecteurs propres, réunis en un espace propre.
Théorie spectrale des graphes
En mathématiques, la théorie spectrale des graphes s'intéresse aux rapports entre les spectres des différentes matrices que l'on peut associer à un graphe et ses propriétés. C'est une branche de la théorie algébrique des graphes. On s'intéresse en général à la matrice d'adjacence et à la matrice laplacienne normalisée. Soit un graphe , où désigne l'ensemble des sommets et l'ensemble des arêtes. Le graphe possède sommets, notés et arêtes, notées .
Arbre couvrant
Dans le domaine mathématique de la théorie des graphes, un arbre couvrant d'un graphe non orienté et connexe est un arbre inclus dans ce graphe et qui connecte tous les sommets du graphe. De façon équivalente, c'est un sous-graphe acyclique maximal, ou encore, un sous-graphe couvrant connexe minimal. Dans certains cas, le nombre d'arbres couvrants d'un graphe connexe est facilement calculable. Par exemple, si lui-même est un arbre, alors , tandis que si est un n-cycle, alors .
Théorie algébrique des graphes
vignette|Le graphe de Petersen, qui possède 10 sommets et 15 arêtes. Hautement symétrique, il est en particulier distance-transitif. Son groupe d'automorphisme a 120 éléments et est en fait le groupe symétrique S. De diamètre 2, il possède 3 valeurs propres. En mathématiques, la théorie algébrique des graphes utilise des méthodes algébriques pour résoudre des problèmes liés aux graphes, par opposition à des approches géométriques, combinatoires ou algorithmiques.
Matrice d'adjacence
En mathématiques, en théorie des graphes, en informatique, une matrice d'adjacence pour un graphe fini à n sommets est une matrice de dimension n × n dont l'élément non diagonal a est le nombre d'arêtes liant le sommet i au sommet j. L'élément diagonal a est le nombre de boucles au sommet i (pour des graphes simples, ce nombre est donc toujours égal à 0 ou 1). Cet outil mathématique est très utilisé comme structure de données en informatique (tout comme la représentation par liste d'adjacence), mais intervient aussi naturellement dans les chaînes de Markov.
Tracé de graphes
En théorie des graphes, le tracé de graphes consiste à représenter des graphes dans le plan. Le tracé de graphes est utile à des applications telles que la conception de circuits VLSI, l'analyse de réseaux sociaux, la cartographie, et la bio-informatique. Les graphes sont généralement représentés en utilisant des points, disques ou boites pour représenter les sommets, et des courbes ou des segments pour représenter les arêtes. Pour les graphes orientés, on utilise habituellement ses flèches en bout d'arête pour représenter l'orientation.
Graphe biparti complet
En théorie des graphes, un graphe est dit biparti complet (ou encore est appelé une biclique) s'il est biparti et chaque sommet du premier ensemble est relié à tous les sommets du second ensemble. Plus précisément, il existe une partition de son ensemble de sommets en deux sous-ensembles et telle que chaque sommet de est relié à chaque sommet de . Si le premier ensemble est de cardinal m et le second ensemble est de cardinal n, le graphe biparti complet est noté . Si m = 1, le graphe complet biparti K1,n est une étoile et est noté .
Taux d'expansion (théorie des graphes)
En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des graphes, le taux d'expansion d'un graphe est une mesure de connectivité de ce graphe. Informellement, un grand taux d'expansion veut dire que n'importe quel sous-ensemble de sommets relativement petit possède beaucoup de connexions avec le reste du graphe. Cette mesure est surtout utilisée en raison des propriétés intéressantes des graphes ayant un fort taux d'expansion, parfois appelés graphes expanseurs. On les retrouve notamment en informatique théorique.
Graphe régulier
En théorie des graphes, un graphe régulier est un graphe où tous les sommets ont le même nombre de voisins, c'est-à-dire le même degré ou valence. Un graphe régulier dont les sommets sont de degré est appelé un graphe -régulier ou graphe régulier de degré . Un graphe 0-régulier est un ensemble de sommets déconnectés; un graphe 1-régulier a un nombre pair de sommets et est un ensemble d'arêtes déconnectées ou couplage; enfin, un graphe 2-régulier est un ensemble de cycles déconnectés.