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Concept
Matrice bande
Résumé
En mathématiques, une matrice bande ou une matrice à bande est une matrice creuse dont les coefficients non nuls sont restreints à une bande diagonale, comprenant la diagonale principale et éventuellement une ou plusieurs diagonales de chaque côté.
Formellement, on considère une matrice carrée A =(ai,j). Si tous les éléments de la matrice sont nuls en dehors d'une bande diagonale dont la plage est déterminée par les constantes k1 et k2 :
alors les quantités k 1 et k 2 sont appelées les largeurs de bande inférieure et largeur de bande supérieure respectivement. La largeur de bande de la matrice est le maximum de k1 et k2 ; autrement dit, c'est le nombre k tel que si .
Une matrice bande avec est une matrice diagonale
Une matrice bande avec est une matrice tridiagonale
Pour on a une matrice pentadiagonale et ainsi de suite.
les Matrices triangulaires
Pour , on obtient la définition d'une matrice triangulaire supérieure
de même, pour on obtient une matrice triangulaire inférieure.
les matrices de Hessenberg supérieure et inférieure
les matrices de Toeplitz lorsque la bande passante est limitée.
les matrices diagonales par blocs
les matrices de déplacement et de cisaillement
les matrices sous forme normale de Jordan
Une matrice d'horizon, également appelée "matrice de bande variable" — une généralisation de la matrice bande
Les inverses des matrices de Lehmer sont des matrices tridiagonales constantes, et sont donc des matrices bandes.
En analyse numérique, les matrices des problèmes d'éléments finis ou de différences finies sont souvent à bande. Ces matrices peuvent être considérées comme des descriptions du couplage entre les variables du problème ; le fait que la matrice soit une matrice bande correspond au fait que les variables ne sont pas couplées sur des distances arbitrairement grandes. De telles matrices peuvent être encore divisées par exemple, il existe des matrices en bandes où chaque élément de la bande est différent de zéro. Ceux-ci surviennent souvent lors de la discrétisation de problèmes unidimensionnels.
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