Matrice diagonale

En algèbre linéaire, une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls. Les coefficients de la diagonale peuvent être ou ne pas être nuls. Une matrice diagonale est une matrice qui correspond à la représentation d'un endomorphisme diagonalisable dans une base de vecteurs propres. La matrice d'un endomorphisme diagonalisable est semblable à une matrice diagonale. Toute matrice diagonale est symétrique, normale et triangulaire. La matrice identité In est diagonale. Une matrice carrée est dite diagonale si : Les matrices suivantes sont diagonales : En revanche les matrices suivantes ne sont pas diagonales : Comme une matrice diagonale est entièrement déterminée par la liste de ses éléments diagonaux, la notation suivante plus concise est souvent adoptée : Les matrices diagonales apparaissent dans presque tous les domaines de l'algèbre linéaire. La multiplication de matrices diagonales est très simple ; aussi, si une matrice intéressante peut d'une certaine façon être remplacée par une matrice diagonale, alors les calculs qui l'impliquent seront plus rapides et la matrice plus facile à stocker en mémoire. Un procédé permettant de rendre certaines matrices diagonales est la diagonalisation. Une matrice presque diagonale (on la dit alors matrice à diagonale dominante) peut être inversée sous réserve de non-intersection de ses cercles de Gershgorin. Une matrice diagonale d'ordre n à coefficients dans K possède de manière naturelle des vecteurs propres (les vecteurs de la base canonique de K) et ses coefficients diagonaux sont les valeurs propres associées. Si une matrice normale est triangulaire alors elle est diagonale. Une matrice complexe est normale si et seulement si elle est unitairement semblable à une matrice diagonale. Voir aussi la décomposition en valeurs singulières, d'après laquelle toute matrice complexe (non nécessairement carrée) est unitairement équivalente à une matrice diagonale positive bordée par des zéros.