Concept

Indéterminée

Résumé

Exemple de polynôme à coefficients entiers, d'indéterminée . En mathématiques, une indéterminée est le concept permettant de formaliser des objets comme les polynômes formels, les fractions rationnelles ou encore les séries formelles. On la désigne en général par la lettre majuscule X. L'indéterminée permet de définir des structures algébriques parfois plus simples que leurs équivalents en analyse. Par exemple, sur tout anneau intègre, le corps des fractions rationnelles, défini à l'aide de l'indéterminée X, diffère de la structure équivalente des fonctions rationnelles de la variable x. Ainsi, la fraction rationnelle X/X est exactement égale à 1, tandis que la fonction rationnelle x/x n'est pas définie en 0. Le concept d'indéterminée permet aussi de définir de nouvelles structures algébriques, comme des extensions finies de corps en théorie de Galois. Un exemple est donné dans l'article Corps fini. Les polynômes formels fournissent des ensembles utiles pour la résolution d'équations diophantiennes, un exemple est donné dans l'article Démonstrations du dernier théorème de Fermat. Un exemple d'usage de l'indéterminée pour définir un corps à l'aide de fractions rationnelles est donné dans l'article Corps parfait. Cet article traite uniquement le cas d'une indéterminée ; le cas général est abordé dans l'article Polynôme en plusieurs indéterminées. Formellement, la puissance d'ordre de l'indéterminée désigne la suite partout nulle sauf pour le terme d'indice qui vaut 1. Un polynôme est, dans ce formalisme une suite presque nulle, c'est-à-dire nulle à partir d'un certain rang. L'addition est celle des suites. La multiplication est définie par : Si les coefficients sont choisis dans un anneau, noté A, c'est spécifiquement l'ensemble A[X] des polynômes à coefficients dans A qui est l'objet d'étude. L'ensemble A[X] est muni d'une addition et d'une multiplication qui suit les mêmes règles que celles des inconnues formalisées pour les équations : Sur l'anneau des entiers Z, l'anneau des fonctions polynomiales est isomorphe à celui des polynômes formels, alors que cette propriété n'est pas vraie sur un corps fini, qui n'admet qu'un nombre fini de fonctions polynomiales et une infinité de polynômes formels.

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Indéterminée

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