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Concept
Groupe résoluble
Résumé
En mathématiques, un groupe résoluble est un groupe qui peut être construit à partir de groupes abéliens par une suite finie d'extensions.
Théorème d'Abel (algèbre)
La théorie des groupes tire son origine de la recherche de solutions générales (ou de leur absence) pour les racines des polynômes de degré 5 ou plus. Le concept de groupe résoluble provient d'une propriété partagée par les groupes d'automorphismes des polynômes dont les racines peuvent être exprimées en utilisant seulement un nombre fini d'opérations élémentaires (racine n-ième, addition, multiplication, ).
Un groupe G est résoluble lorsqu'il existe une suite finie G_0, G_1, ..., G_n de sous-groupes de G telle que :
où la notation signifie que pour tout i ∈ [0,n–1], G_i est un sous-groupe normal de G_i+1, et le groupe quotient G_i+1/G_i est abélien ( est le sous-groupe trivial de G).
G_0, G_1, ..., G_n est donc une dont tous les facteurs sont abéliens.
La suite G_0, G_1, ..., G_n est dite suite de résolubilité de G. Si pour tout i∈[0,n–1], G_i ≠ G_i+1 (c’est-à-dire qu'il s'agit de sous-groupes propres), on l'appelle suite de résolubilité sans répétition.
Un groupe est résoluble si et seulement si sa suite dérivée est stationnaire à {e}. Le plus petit entier naturel n tel que D(G) = {e} est alors appelé la classe de résolubilité de G. Un groupe non trivial G est donc résoluble de classe n (≥ 1) si et seulement si son groupe dérivé D(G) est résoluble de classe n – 1.
Les groupes résolubles de classe ≤ 1 sont les groupes abéliens.
Tout sous-groupe d'un groupe résoluble est résoluble.
Tout groupe quotient d'un groupe résoluble (par un sous-groupe normal) est résoluble (ce qu'on peut reformuler en : s'il existe un morphisme de groupes surjectif d'un groupe résoluble sur G, alors G est résoluble).
Si H est distingué dans G et est résoluble de classe q et G/H est résoluble de classe p, alors G est résoluble de classe inférieure ou égale à p + q.
Un groupe simple est résoluble si et seulement s'il est commutatif, ce qui a lieu si et seulement si c'est un groupe d'ordre premier (donc cyclique fini).
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