J-invariantLe j-invariant, parfois appelé fonction j, est une fonction introduite par Felix Klein pour l'étude des courbes elliptiques, qui a depuis trouvé des applications au-delà de la seule géométrie algébrique, par exemple dans l'étude des fonctions modulaires, de la théorie des corps de classes et du monstrous moonshine. On travaille dans le . Soient quatre points distincts , leur birapport est : Cette quantité est invariante par homographies du plan, mais dépend de l'ordre des quatre nombres considérés.
Monstrous moonshineEn mathématiques, monstrous moonshine est un terme anglais conçu par John Horton Conway et Simon P. Norton en 1979, utilisé pour décrire la connexion, alors totalement inattendue, entre le groupe Monstre M et les formes modulaires (en particulier la fonction j). Précisément, Conway et Norton, suivant une observation initiale de John McKay, trouvèrent que le développement de Fourier de (, où désigne le ) pouvait être exprimé en termes de combinaisons linéaires des dimensions des représentations irréductibles de M () où et Conway et Norton formulèrent des conjectures concernant les fonctions obtenues en remplaçant les traces sur l'élément neutre par les traces sur d'autres éléments g de M.
Weber modular functionIn mathematics, the Weber modular functions are a family of three functions f, f1, and f2, studied by Heinrich Martin Weber. Let where τ is an element of the upper half-plane. Then the Weber functions are These are also the definitions in Duke's paper "Continued Fractions and Modular Functions". The function is the Dedekind eta function and should be interpreted as . The descriptions as quotients immediately imply The transformation τ → –1/τ fixes f and exchanges f1 and f2.
Q-symbole de PochhammerEn combinatoire, le q-symbole de Pochhammer est un symbole permettant de noter facilement certains produits. C'est l'élément de base des q-analogues. C'est le q-analogue du symbole de Pochhammer défini par Leo Pochhammer. Le q-symbole de Pochhammer est : avec On peut étendre la notation à des produits infinis : On note parfois , lorsqu'il est clair que la variable est q. Un grand nombre de séries génératrices représentant des partitions peuvent être exprimées de façon compacte avec ces symboles.
Constante de GaussEn mathématiques, la constante de Gauss, notée G, est l'inverse de la moyenne arithmético-géométrique de 1 et de la racine carrée de 2 : L'éponyme de cette constante est le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss (-) car il a découvert le à Brunswick que : La constante de Gauss peut être exprimée grâce à la valeur de la fonction bêta en (1/4, 1/2) : soit encore, grâce à la valeur de la fonction gamma en 1/4 : et puisque π et Γ(1/4) sont algébriquement indépendants, la constante de Gauss est transcendant
Fonction elliptiquevignette|Fonctions elliptiques lemniscates et ellipse. En mathématiques, et plus particulièrement en analyse complexe, une fonction elliptique est, grossièrement parlant, une fonction définie sur le plan complexe qui est doublement périodique (périodique dans deux directions). Elle peut être vue comme analogue à une fonction trigonométrique (qui a une seule période).
Fonction êta de DedekindLa fonction êta de Dedekind est une fonction définie sur le demi-plan de Poincaré formé par les nombres complexes de partie imaginaire strictement positive. Pour un tel nombre complexe , on pose et la fonction êta est alors : , en posant . La fonction êta est holomorphe dans le demi-plan supérieur mais n'admet pas de prolongement analytique en dehors de cet ensemble. La fonction êta vérifie les deux équations fonctionnelles et La seconde se généralise : soient des entiers tels que (donc associés à une transformation de Möbius appartenant au groupe modulaire), avec .
