Pafnouti Tchebychev

Résumé

Pafnouti Lvovitch Tchebychev (en Пафнутий Львович Чебышёв), né le à Okatovo, près de Borovsk, et décédé le à Saint-Pétersbourg, est un mathématicien russe. Son nom a tout d'abord été transcrit en français Tchebychef et la forme Tchebycheff est aussi utilisée en français. Il est aussi transcrit Tschebyschef ou Tschebyscheff (formes allemandes), Chebyshov ou Chebyshev (formes anglo-saxonnes). Il est connu pour ses travaux dans les domaines des probabilités, des statistiques, et de la théorie des nombres. Tchebychev appartient à l'école mathématique russe fondée sous Catherine la Grande par Daniel Bernoulli et Euler. En est aussi issu son contemporain Lobatchevski, inventeur de la première géométrie non euclidienne. Tchebychev reprend le vaste programme lancé par Jacques Bernoulli, Abraham de Moivre et Siméon Denis Poisson pour énoncer et démontrer de façon rigoureuse des théorèmes limites, c'est-à-dire pour établir les tendances asymptotiques des phénomènes naturels. Il établit une

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Pafnouti_Tchebychev

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Stabilized Runge–Kutta (aka Chebyshev) methods are especially efficient for the numerical solution of large systems of stiff differential equations because they are fully explicit; hence, they are inherently parallel and easily accommodate nonlinearity. For semi-discrete parabolic (or diffusion dominated) problems, for instance, stabilized Runge–Kutta methods overcome the stringent stability condition of standard methods without sacrificing explicitness. However, when much of the stiffness is only induced by a few components, as in the presence of spatially local mesh refinement, their efficiency deteriorates. To remove the crippling effect of a few severely stiff components on the entire system of differential equations, we derive a modified equation, whose stiffness solely depend on the remaining mildly stiff components. By applying stabilized Runge–Kutta methods to this modified equation, we then devise an explicit multirate Runge–Kutta–Chebyshev (mRKC) method whose stability conditions are independent of a few severely stiff components. Stability of the mRKC method is proved for a model problem, whereas its efficiency and usefulness are demonstrated through a series of numerical experiments.

MATHICSE2020

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MATHICSE Technical Report : Optimal explicit stabilized integrator of weak order one for stiff and ergodic stochastic differential equations

Assyr Abdulle, Gilles Vilmart

A new explicit stabilized scheme of weak order one for stiff and ergodic stochastic differential equations (SDEs) is introduced. In the absence of noise, the new method coincides with the classical deterministic stabilized scheme (or Chebyshev method) for diffusion dominated advection-diffusion problems and it inherits its optimal stability domain size that grow quadratically with the number of internal stages of the method. For mean-square stable stiff stochastic problems, the scheme has an optimal extended mean-square stability domain that grows at the same quadratic rate as the deterministic stability domain size in contrast to known existing methods for stiff SDEs [A. Abdulle and T. Li. Commun. Math. Sci., 6(4), 2008, A. Abdulle, G. Vilmart, and K. C. Zygalakis, SIAM J. Sci. Comput., 35(4), 2013]. Combined with postprocessing techniques, the new methods achieve a convergence rate of order two for sampling the invariant measure of a class of ergodic SDEs, achieving a stabilized version of the non-Markovian scheme introduced in [B. Leimkuhler, C. Matthews, and M. V. Tretyakov, Proc. R. Soc. A, 470, 2014].

MATHICSE2017

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MATHICSE Technical Report : Optimal explicit stabilized integrator of weak order one for stiff and ergodic stochastic differential equations

Assyr Abdulle, Gilles Vilmart

MATHICSE2017

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