L'hypothèse de Riemann est l'une des plus importantes conjectures des mathématiques et concerne les zéros de la fonction ζ de Riemann. Divers objets géométriques et arithmétiques peuvent être décrits par ce que l'on appelle les fonctions L globales, qui sont similaires formellement à la fonction zêta de Riemann. On peut alors se poser la même question à propos des zéros de ces fonctions L, fournissant diverses généralisations de l'hypothèse de Riemann. Aucune de ces conjectures n'a été confirmée ou infirmée par une démonstration, mais beaucoup de mathématiciens croient qu'elles sont vraies.
Les fonctions L globales peuvent être associées aux courbes elliptiques, aux corps de nombres (dans ce cas, elles sont appelées fonctions zêta de Dedekind), aux , et aux caractères de Dirichlet (dans ce cas, elles sont appelées fonctions L de Dirichlet). Lorsque l'hypothèse de Riemann est formulée pour les fonctions zêta de Dedekind, elle est connue sous le nom d'hypothèse de Riemann étendue (HRE) et lorsqu'elle est formulée pour les fonctions L de Dirichlet, elle est connue sous le nom d'hypothèse de Riemann généralisée (HRG).
L'hypothèse de Riemann généralisée a sans doute été formulée pour la première fois par en 1884.
De même que l'hypothèse de Riemann originelle, elle a d'importantes conséquences sur la répartition des nombres premiers.
Un caractère de Dirichlet est une fonction arithmétique complètement multiplicative χ pour laquelle il existe un entier naturel k > 0 tel que, pour tout entier n, on ait χ(n + k) = χ(n) et χ(n) = 0 si n n'est pas premier avec k.
On définit la fonction L de Dirichlet d'un tel caractère par :
pour tout nombre complexe s de partie réelle > 1. Par prolongement analytique, cette fonction peut être étendue à une fonction méromorphe définie sur tout le plan complexe.
L'énoncé de l'hypothèse de Riemann généralisée est le suivant :
Le cas du caractère trivial (χ(n) = 1 pour tout n) correspond à l'hypothèse de Riemann ordinaire.
Soient a et d deux entiers naturels premiers entre eux, avec d non nul.
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This year's topic is "Adelic Number Theory" or how the language of adeles and ideles and harmonic analysis on the corresponding spaces can be used to revisit classical questions in algebraic number th
En mathématiques, l'hypothèse de Riemann est une conjecture formulée en 1859 par le mathématicien allemand Bernhard Riemann, selon laquelle les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ont tous une partie réelle égale à 1/2. Sa démonstration améliorerait la connaissance de la répartition des nombres premiers et ouvrirait des nouveaux domaines aux mathématiques. Cette conjecture constitue l'un des problèmes non résolus les plus importants des mathématiques du début du : elle est l'un des vingt-trois fameux problèmes de Hilbert proposés en 1900, l'un des sept problèmes du prix du millénaire et l'un des dix-huit problèmes de Smale.
L'hypothèse de Riemann est l'une des plus importantes conjectures des mathématiques et concerne les zéros de la fonction ζ de Riemann. Divers objets géométriques et arithmétiques peuvent être décrits par ce que l'on appelle les fonctions L globales, qui sont similaires formellement à la fonction zêta de Riemann. On peut alors se poser la même question à propos des zéros de ces fonctions L, fournissant diverses généralisations de l'hypothèse de Riemann.
vignette|Représentation de la fonction ζ de Riemann, exemple le plus classique de fonction L En mathématiques, la théorie des fonctions L est devenue une branche très substantielle, et encore largement conjecturelle, de la théorie analytique des nombres contemporaine. On y construit de larges généralisations de la fonction zêta de Riemann et même des séries L pour un caractère de Dirichlet et on y énonce de manière systématique leurs propriétés générales, qui dans la plupart des cas sont encore hors de portée d'une démonstration.