Résumé
vignette|Représentation de la fonction ζ de Riemann, exemple le plus classique de fonction L En mathématiques, la théorie des fonctions L est devenue une branche très substantielle, et encore largement conjecturelle, de la théorie analytique des nombres contemporaine. On y construit de larges généralisations de la fonction zêta de Riemann et même des séries L pour un caractère de Dirichlet et on y énonce de manière systématique leurs propriétés générales, qui dans la plupart des cas sont encore hors de portée d'une démonstration. Pour commencer, il faut distinguer la série L (par exemple la série de Dirichlet pour la fonction zêta de Riemann), et la fonction L, la fonction qui est son prolongement analytique au plan complexe. Les constructions générales démarrent avec une série L, d'abord définie comme une série de Dirichlet, puis développée en un produit eulérien, indexé par des nombres premiers. Des estimations sont requises pour démontrer que cela converge dans une moitié droite du plan complexe. Il est alors sensé de conjecturer un prolongement méromorphe dans le plan complexe, qu'on appellera une fonction L. Dans les cas classiques, on sait que l'information utile est contenue dans les valeurs et le comportement de la fonction L aux points où la série diverge. Le terme général de fonction L comprend beaucoup de types connus de fonctions zêta. La classe de Selberg est une tentative pour axiomatiser les propriétés essentielles des fonctions L et encourager l'étude des propriétés communes à toutes ces fonctions plutôt que de chaque fonction L isolément. la fonction ζ de Riemann, qui est l'exemple le plus classique ; les fonctions L associées aux formes modulaires via la transformation de Mellin ; les fonctions L associées aux caractères, qui permettent notamment de démontrer le théorème de Dirichlet sur les nombres premiers dans les progressions arithmétiques ; les fonctions L des motifs.
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