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Concept
Groupe des quaternions
Résumé
En mathématiques et plus précisément en théorie des groupes, le groupe des quaternions est l'un des deux groupes non abéliens d'ordre 8.
Il admet une représentation réelle irréductible de degré 4, et la sous-algèbre des matrices 4×4 engendrée par son image est un corps gauche qui s'identifie au corps des quaternions de Hamilton.
Le groupe des quaternions est souvent désigné par le symbole Q ou Q8 et est écrit sous forme multiplicative, avec les 8 éléments suivants :
Ici, 1 est l'élément neutre, et pour tout a dans Q. Les règles de multiplication restantes peuvent être obtenues à partir de l'associativité et de la relation suivante :
La table de multiplication pour Q est donnée par :
Le groupe ainsi obtenu est non abélien, comme on peut le voir sur la relation . Cependant Q est un groupe hamiltonien : tout sous-groupe de Q est normal, mais Q est non abélien. Tout groupe hamiltonien contient une copie de Q.
Considérant un espace vectoriel réel de dimension 4 dont une base est notée {1, i, j, k}, on le munit d'une structure d'algèbre associative en utilisant la table de multiplication ci-dessus et la distributivité. Le résultat est un corps gauche appelé le corps des quaternions. Le lemme de Schur généralise cette approche. Il montre en effet que l'algèbre (associative) des endomorphismes de toute représentation irréductible d'un groupe est une algèbre à division donc un corps, parfois non commutatif.
Inversement, on peut démarrer avec le corps des quaternions et définir le groupe des quaternions comme le sous-groupe multiplicatif constitué des 8 éléments .
Sur tout corps de caractéristique différente de 2, le théorème de Maschke réduit l'étude des représentations de Q à celle de ses représentations irréductibles.
Faisons l'inventaire plus précis des représentations irréductibles de Q, à coefficients rationnels (ou réels, par extension des scalaires), et la description de celle de degré 4 à laquelle il est fait implicitement allusion ci-dessus.
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