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Concept
Anneau intègre
Résumé
Un anneau intègre ou anneau d'intégrité est un anneau commutatif unitaire différent de l'anneau nul et qui ne possède aucun diviseur de zéro.
Un anneau commutatif unitaire est dit intègre s'il est
différent de l'anneau nul (autrement dit : si 1 ≠ 0) et
sans diviseur de zéro, c’est-à-dire :
En pratique, travailler dans un anneau intègre permet de résoudre des équations produit-nul.
Un nombre limité de sources fournissent des définitions différentes des termes « Anneau intègre » ou « Anneau d'intégrité », soit qu'elles n'exigent pas la commutativité, soit qu'elles n'exigent pas la présence d'un neutre pour la multiplication, soit très exceptionnellement qu'elles n'exigent pas que l'anneau ait au moins deux éléments.
Le présent article, qui se borne au cas commutatif et unitaire n'aborde pas ces variantes ; on renvoie à l'article intitulé « Anneau sans diviseur de zéro » pour celle où la commutativité n'est pas requise.
L'anneau des entiers relatifs est un anneau intègre.
Si un anneau est un corps commutatif, alors il est intègre. La réciproque est, en général, fausse (l'anneau des entiers relatifs est un contre-exemple) mais est vraie dans le cas des anneaux finis .
L'ensemble des nombres décimaux est un anneau intègre qui n'est pas un corps.
L'ensemble des nombres réels s'écrivant , où et sont des entiers relatifs, est un anneau intègre qui n'est pas un corps. Cet ensemble est en fait un sous-anneau du corps des nombres réels.
Tout sous-anneau d'un anneau intègre, par exemple d'un corps commutatif, est un anneau intègre. Inversement, tout anneau intègre peut être considéré comme un sous-anneau d'un corps, par exemple de son corps des fractions .
Un anneau de polynômes sur un anneau intègre est lui-même intègre.
L'anneau des fonctions holomorphes sur un ouvert connexe non vide de est intègre, ceci découlant du principe des zéros isolés.
En revanche :
L'anneau n'est pas intègre, puisque le produit y donne un résultat nul sans que l'un de ses facteurs ne soit nul.
Source officielle
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