Concept
Anneau intègre
Concepts associés (21)
Anneau (mathématiques)
vignette|Richard Dedekind - 1870 En algèbre, un anneau est un ensemble muni de deux lois de composition interne appelées addition et multiplication, qui vérifient des propriétés analogues à celles de ces opérations sur les entiers relatifs. Plus précisément, deux définitions sont représentées dans la littérature mathématique, selon la considération d'un élément neutre : la majorité des sources récentes définissent un « anneau » comme un anneau unitaire, avec la multiplication ayant un élément neutre ; tandis que, selon de nombreux ouvrages, la présence d'une unité multiplicative n'est pas requise, et ce type d'anneau est ailleurs dénommé pseudo-anneau.
Anneau commutatif
Un anneau commutatif est un anneau dans lequel la loi de multiplication est commutative. L’étude des anneaux commutatifs s’appelle l’algèbre commutative. Un anneau commutatif est un anneau (unitaire) dans lequel la loi de multiplication est commutative. Dans la mesure où les anneaux commutatifs sont des anneaux particuliers, nombre de concepts de théorie générale des anneaux conservent toute leur pertinence et leur utilité en théorie des anneaux commutatifs : ainsi ceux de morphismes d'anneaux, d'idéaux et d'anneaux quotients, de sous-anneaux, d'éléments nilpotents.
Idéal
En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, un idéal est un sous-ensemble remarquable d'un anneau : c'est un sous-groupe du groupe additif de l'anneau qui est, de plus, stable par multiplication par les éléments de l'anneau. À certains égards, les idéaux s'apparentent donc aux sous-espaces vectoriels — qui sont des sous-groupes additifs stables par une multiplication externe ; à d'autres égards, ils se comportent comme les sous-groupes distingués — ce sont des sous-groupes additifs à partir desquels on peut construire une structure d'anneau quotient.
Polynôme
thumb|Courbe représentative d'une fonction cubique. En mathématiques, un polynôme est une expression formée uniquement de produits et de sommes de constantes et d'indéterminées, habituellement notées X, Y, Z... Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une valeur approchée de toute fonction dérivable (voir l'article Développement limité) et permettent de représenter des formes lisses (voir l'article Courbe de Bézier, décrivant un cas particulier de fonction polynomiale).
Idéal premier
En algèbre commutative, un idéal premier d'un anneau commutatif unitaire est un idéal tel que le quotient de l'anneau par cet idéal est un anneau intègre. Ce concept généralise la notion de nombre premier à des anneaux à la structure moins simple d'accès que l'anneau des entiers relatifs. Ils jouent un rôle particulièrement important en théorie algébrique des nombres. thumb|Richard Dedekind (1831-1916), formalisateur du concept d'idéal.
Théorème fondamental de l'arithmétique
En mathématiques, et en particulier en arithmétique élémentaire, le théorème fondamental de l'arithmétique ou théorème de décomposition en produit de facteurs premiers s'énonce ainsi : tout entier strictement positif peut être écrit comme un produit de nombres premiers d'une unique façon, à l'ordre près des facteurs. Par exemple, nous pouvons écrire que : = 2 × 3 × 17 ou encore = 2 × 3 × 5 et il n'existe aucune autre factorisation de ou sous forme de produits de nombres premiers, excepté par réarrangement des facteurs ci-dessus.
Nombre premier
vignette|Nombres naturels de zéro à cent. Les nombres premiers sont marqués en rouge. vignette|Le nombre 7 est premier car il admet exactement deux diviseurs positifs distincts. Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs. Ces deux diviseurs sont 1 et le nombre considéré, puisque tout nombre a pour diviseurs 1 et lui-même (comme le montre l’égalité n = 1 × n), les nombres premiers étant ceux qui ne possèdent pas d'autre diviseur.
Polynôme formel
En algèbre, le terme de polynôme formel, ou simplement polynôme, est le nom générique donné aux éléments d'une structure construite à partir d'un ensemble de nombres. On considère un ensemble A de nombres, qui peut être celui des entiers ou des réels, et on lui adjoint un élément X, appelé indéterminée. La structure est constituée par les nombres, le polynôme X, les puissances de X multipliées par un nombre, aussi appelés monômes (de la forme aX), ainsi que les sommes de monômes. La structure est généralement notée A[X].
Anneau quotient
En mathématiques, un anneau quotient est un anneau qu'on construit sur l'ensemble quotient d'un anneau par un de ses idéaux bilatères. Soit A un anneau. L'addition et la multiplication de A sont compatibles avec une relation d'équivalence sur A si (et seulement si) celle-ci est de la forme : x ~ y ⇔ x – y ∈ I, pour un certain idéal bilatère I de A. On peut alors munir l'ensemble quotient A/I de l'addition et de la multiplication quotients de celles de A : Ceci munit A/I d'une structure d'anneau, appelé l'anneau quotient de A par I (son groupe additif est le groupe quotient de (A, +) par I).
Corps commutatif
vignette|Corps commutatif (pour n premier) En mathématiques, un corps commutatif (parfois simplement appelé corps, voir plus bas, ou parfois appelé champ) est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. C'est un ensemble muni de deux opérations binaires rendant possibles les additions, soustractions, multiplications et divisions. Plus précisément, un corps commutatif est un anneau commutatif dans lequel l'ensemble des éléments non nuls est un groupe commutatif pour la multiplication.