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Concept
Réduction polynomiale
Résumé
Une réduction polynomiale est un outil d'informatique théorique, plus particulièrement de théorie de la complexité. C'est une classe particulière de réductions particulièrement importante, notamment pour le problème P = NP.
Dans le cadre des langages formels pour les problèmes de décision, on dit qu'un langage est réductible en temps polynomial à un langage (noté ) s'il existe une fonction calculable en temps polynomial telle que pour tout , si et seulement si . On appelle la fonction la fonction de réduction, et un algorithme polynomial qui calcule est appelé algorithme de réduction.
Soit un problème de décision. Les instances de ce problème sont des objets abstraits au sens où leur définition est purement mathématique. Pour permettre l'implémentation de ce problème, elles doivent être cependant représentées sous une forme compréhensible par le programme. Ici intervient la notion de codage. On définit une fonction de codage d'un problème de décision comme étant une application injective qui associe à l'ensemble des instances abstraites de un élément de . Ainsi, lorsqu'un programmeur code un problème, les variables représentant les instances du problème sont traduites (par le compilateur dans le cas des langages statiques, par l'interpréteur dans le cas des langages dynamiques) en langage binaire. Le codage est donc un moyen de passer d'un problème abstrait à un problème concret. De fait, si la solution à une instance de problème de décision abstrait est , alors la solution de l'instance du problème concret est aussi . Un léger problème se pose cependant : il est possible que des éléments de ne correspondent à aucune instance du problème (autrement dit, qu'ils n'ont aucun antécédent). Par commodité, on supposera que toute chaîne de ce type a pour image 0.
Un algorithme accepte une chaîne si, étant donné une entrée , l'algorithme sort
Un algorithme rejette une chaîne si .
Le langage accepté par un algorithme est l'ensemble des chaînes acceptées par l'algorithme, soit .
Source officielle
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