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Concept
Mouvement brownien fractionnaire
Résumé
Le mouvement brownien fractionnaire (mBf) a été introduit par Kolmogorov en 1940, comme moyen d'engendrer des "spirales" gaussiennes dans des espaces de Hilbert.
En 1968, Mandelbrot et Van Ness l'ont rendu célèbre en l'introduisant dans des modèles financiers, et en étudiant ses propriétés.
Le champ des applications du mBf est immense.
En effet, il sert par exemple à recréer certains paysages naturels, notamment des montagnes, mais également en hydrologie, télécommunications, économie, physique...
Le mouvement brownien fractionnaire d'exposant de Hurst noté est l'unique
processus gaussien centré, nul en zéro et continu, dont la covariance est
donnée par :
où est une constante positive qui ne dépend que de , elle s'appelle indice de Hurst.
Lorsque , nous obtenons le mBf standard.
Le mBf est l'une des généralisations les plus naturelles du mouvement brownien.
En effet, lorsque :
est une primitive fractionnaire du mouvement brownien.
il est une dérivée fractionnaire du mouvement brownien.
se réduit à un mouvement brownien.
Dans les travaux de Mandelbrot et Van Ness (1968), le mouvement brownien fractionnaire est défini, à une constante multiplicative près, par l'intégrale de Wiener suivante :
où et est un bruit blanc réel.
Samorodnitsky et Taqqu (1994) ont montré que le mouvement brownien fractionnaire peut être représenté par l'intégrale stochastique suivante :
ou bien
est la transformée de Fourier, du bruit blanc à valeurs réelles :
pour tout ,
Auto-similarité du mBf
Le mBf de paramètre de Hurst est un processus -auto similaire :
ce qui signifie que
A accroissements stationnaires
Le mBf est un processus à accroissements stationnaires :
c'est-à-dire
Longue dépendance
Lorsque , le mBf possède la propriété de longue dépendance.
Cette propriété est décrite de la manière suivante :
ensuite, posons :
alors :
Cela signifie que les valeurs du mBf entre deux temps espacés ont une petite corrélation, mais non négligeable (non sommable!).
Continuité
Le mBf est un processus admettant des trajectoires continues, nulle part dérivables.
Source officielle
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