Formule de Viète

vignette|upright=2.5|Formule de Viète énoncée dans son Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII (1593). En mathématiques, la formule de Viète est le produit infini suivant des radicaux imbriqués représentant le nombre π : Elle est nommée d'après François Viète, qui l'a publiée en 1593 dans son Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII. À l'époque où Viète publiait sa formule, des méthodes d'approximation de π étaient connues depuis longtemps. La méthode de Viète peut être interprétée comme une variation d'une idée d'Archimède d'approximation du périmètre d'un cercle par celui d'un polygone, utilisée par Archimède pour trouver l'approximation Cependant, en publiant sa méthode comme formule mathématique, Viète a formulé la première occurrence connue d'un produit infini en mathématiques, et le premier exemple d'une formule explicite pour la valeur exacte de π. En tant que première formule représentant un nombre résultant d'un processus infini plutôt que d'un calcul fini, la formule de Viète a été considérée comme le début de l'analyse mathématique, et plus largement comme . En utilisant sa formule, Viète a calculé π avec une précision de neuf chiffres après la virgule. Cependant, ce n'était pas l'approximation la plus précise de π connue à l'époque. En effet, le mathématicien perse Al-Kashi avait calculé π à une précision de neuf chiffres sexagésimaux, soit 16 chiffres décimaux, en 1424. Peu de temps après la publication de la formule par Viète, Ludolph van Ceulen a utilisé une méthode similaire pour calculer 35 décimales de π, qui n'ont été publiées qu'après la mort de van Ceulen en 1610. La formule de Viète peut être réécrite et comprise comme l'expression d'une limite où , avec . Le concept de limite et les preuves rigoureuses de convergence ont été développés en mathématiques bien après l'œuvre de Viète ; la première preuve que cette limite existe n'a été donnée qu'en 1891, par Ferdinand Rudio. La vitesse de convergence d'une suite régit le nombre de termes de l'expression nécessaires pour atteindre un nombre donné de décimales.