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Concept
Règle de Cramer
Résumé
La règle de Cramer (ou méthode de Cramer) est un théorème en algèbre linéaire qui donne la solution d'un système de Cramer, c'est-à-dire un système d'équations linéaires avec autant d'équations que d'inconnues et dont le déterminant de la matrice de coefficients est non nul, sous forme de quotients de déterminants.
En calcul, la méthode est moins efficace que la méthode de résolution de Gauss pour des grands systèmes (à partir de quatre équations) dont les coefficients dans le premier membre sont explicitement donnés. Cependant, elle est d'importance théorique, car elle donne une expression explicite pour la solution du système, et elle s'applique dans des systèmes où par exemple les coefficients du premier membre dépendent de paramètres, ce qui peut rendre la méthode de Gauss inapplicable.
Elle est nommée d'après le mathématicien suisse Gabriel Cramer (1704-1752).
Le système de n équations à n inconnues, de forme générale :
est représenté sous la forme d'un produit matriciel :
où la matrice , carrée, contient les coefficients des inconnues, le vecteur colonne contient ces inconnues et le vecteur colonne contient les membres de droite des équations du système ; les coefficients et les inconnues font partie d'un même corps commutatif.
Le théorème affirme alors que le système admet une unique solution si et seulement si sa matrice est inversible (déterminant non nul), et cette solution est alors donnée par :
où est la matrice carrée formée en remplaçant la k-ième colonne de par le vecteur colonne .
Un système carré (i.e. avec autant d'équations que d'inconnues) est dit de Cramer si le déterminant de sa matrice est non nul.
Lorsque le système (toujours carré) n'est pas de Cramer (i.e. lorsque le déterminant de A est nul) :
si le déterminant d'une des matrices est non nul, alors le système n'a pas de solution ;
la réciproque est fausse : il peut arriver que le système n'ait pas de solution bien que les déterminants soient tous nuls. Un exemple en est donné par :
Pour plus de précisions, voir Théorème de Rouché-Fontené.
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