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Concept
Groupe diédral
Résumé
En mathématiques, le groupe diédral d'ordre 2n, pour un nombre naturel non nul n, est un groupe qui s'interprète notamment comme le groupe des isométries du plan conservant un polygone régulier à n côtés. Le groupe est constitué de n éléments correspondant aux rotations et n autres correspondant aux réflexions. Il est noté Dn par certains auteurs et D par d'autres. On utilisera ici la notation D.
Le groupe D est le groupe cyclique d'ordre 2, noté C ; le groupe D est le groupe de Klein à quatre éléments. Parmi les groupes diédraux D2n, ce sont les deux seuls à être abéliens. L'interprétation des groupes diédraux comme groupes d'isométries ne convient pas à ces deux cas particuliers, puisqu'il n'y a pas de polygones réguliers à un ou à deux côtés. Certains auteurs ne définissent d'ailleurs le groupe diédral d'ordre 2n que pour n au moins égal à 3. Néanmoins, le groupe D peut être interprété comme le groupe des isométries du plan conservant un segment non réduit à un point.
Le groupe D2n peut être défini par la suite exacte scindée suivante :
où Cn (également noté Z ou Z/nZ) est un groupe cyclique d'ordre n, C est cyclique d'ordre 2, la section étant donnée par l'action d'un relevé σ du générateur de C, sur un générateur τ du groupe cyclique d'ordre n :
Ce groupe est donc produit semi-direct de Cn par C suivant le morphisme ψ, où l'unité de C agit sur Cn comme l'application identique et l'autre élément de C agit sur Cn par inversion. Explicitement :
Une présentation est alors :
c'est-à-dire que des générateurs sont σ, τ et les seules relations qu'ils vérifient sont celles résultant (par les axiomes sur une loi de groupe) de :
On peut ainsi dresser une liste complète des éléments du groupe :
Une présentation alternative, où μ = τσ dans le système de générateurs de la présentation précédente, est :
c'est-à-dire que des générateurs sont σ, μ et les seules relations qu'ils vérifient résultent de :
On voit ainsi que le groupe diédral admet un système de deux générateurs distincts tous deux d'ordre 2.
Source officielle
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