Groupe de Frobenius
En mathématiques, un groupe de Frobenius est un groupe de permutations agissant transitivement sur un ensemble fini, tel qu'aucun élément non trivial ne fixe plus d'un point et tel qu'au moins un point est fixé par un élément non trivial. Vu la transitivité, cette seconde condition revient à dire que le stabilisateur d'un point quelconque n'est jamais trivial. Les groupes de Frobenius ont été nommés ainsi en l'honneur de F. G. Frobenius. Si G est un groupe de Frobenius opérant sur un ensemble X, un sous-groupe H de G est appelé un complément de Frobenius de G s'il est le stabilisateur d'un point de X. Vu la transitivité, les compléments de Frobenius forment une classe de conjugaison dans G. Deux compléments de Frobenius distincts n'ont en commun que l'élément neutre. L'élément neutre en même temps que tous les éléments sans point fixe forment un sous-groupe normal appelé le noyau de Frobenius de G. (Ceci est un théorème dû à Frobenius.) Si K désigne le noyau de Frobenius de G et si H est un complément de Frobenius de G, alors G est le produit semi-direct de K par H : G = K ⋊ H. Le noyau de Frobenius et les compléments de Frobenius ont tous deux des structures très restreintes. J. G. Thompson a démontré que le noyau de Frobenius K est un groupe nilpotent. Si H est d'ordre pair alors K est abélien. Dans un complément de Frobenius, chaque sous-groupe dont l'ordre est le produit de deux nombres premiers est cyclique ; ceci implique que ses sous-groupes de Sylow sont cycliques ou des groupes de quaternions généralisés. Tout groupe dont tous les sous-groupes sont cycliques est , c'est-à-dire extension d'un groupe cyclique par un autre. Si un complément de Frobenius H est non résoluble alors Zassenhaus a montré qu'il possède un sous-groupe normal d'indice 1 ou 2 qui est le produit de SL_2(5) et d'un groupe métacyclique d'ordre premier avec 30. Si un complément de Frobenius H est résoluble alors il possède un sous-groupe normal métacyclique tel que le quotient est un sous-groupe du groupe symétrique sur 4 points.