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Concept
Groupe de type de Lie
Résumé
En mathématiques, un groupe de type de Lie G(k) est un groupe (non nécessairement fini) de points rationnels d'un groupe algébrique linéaire réductif G à valeur dans le corps commutatif k. La classification des groupes simples finis montre que les groupes de types de Lie finis forment l'essentiel des groupes finis simples. Des cas particuliers incluent les groupes classiques, les groupes de Chevalley, les groupes de Steinberg et les groupes de Suzuki-Ree.
Groupe classique
Une approche initiale est la définition et l'étude détaillée de ce que l'on appelle les groupes classiques sur des corps finis et autres. Beaucoup de travaux ont été réalisés la-dessus, à partir de l'époque de L. E. Dickson jusqu'à l'ouvrage de Jean Dieudonné. Par exemple, Emil Artin a étudié les ordres de tels groupes, en vue de classifier les cas de coïncidence.
Un groupe classique est, de manière grossière, un groupe spécial linéaire, orthogonal, symplectique ou unitaire. Il existe plusieurs variations mineures de ceux-ci, obtenues en prenant des sous-groupes dérivés ou des quotients par le centre. Ils peuvent être construits sur les corps finis (ou tout autre corps) plus ou moins de la même façon qu'ils ont été construits sur les nombres réels. Ils correspondent aux séries A, B, C, D, A et D des groupes de Chevalley et Steinberg.
La théorie a été clarifiée par la théorie des groupes algébriques et par le travail de Claude Chevalley, dans le milieu des années 1950, sur les algèbres de Lie au moyen duquel le concept de groupe de Chevalley a été isolé. Chevalley a construit une (une sorte de forme intégrale) pour toutes les algèbres de Lie simples complexes (ou plutôt de leurs algèbres enveloppantes), qui peuvent être utilisées pour définir les groupes algébriques correspondants sur les entiers. En particulier, il a pu prendre leurs points à valeurs dans tout corps fini. Pour les algèbres de Lie A, B, C et D, ceci donnait les groupes classiques bien connus, mais sa construction donna aussi les groupes associés aux algèbres de Lie exceptionnelles E, E, E, F et G.
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