Unipotent

En mathématiques, un élément unipotent r d'un anneau unitaire R est un tel que r − 1 est un élément nilpotent ; en d'autres termes, (r − 1)n vaut zéro pour n assez grand. En particulier, une matrice carrée M est une matrice unipotente si et seulement si son polynôme caractéristique P(t) est une puissance de t − 1. Ainsi, toutes les valeurs propres d'une matrice unipotente valent 1. Le terme quasi-unipotent signifie qu'une certaine puissance de l'élément est unipotente. Par exemple, une matrice diagonalisable dont toutes les valeurs propres sont des racines de l'unité est quasi-unipotente. Dans la théorie des groupes algébriques, un élément d'un groupe est unipotent s'il agit de manière unipotente dans une certaine représentation naturelle du groupe. Un groupe algébrique affine unipotent est alors un groupe dont tous les éléments sont unipotents. Pour n entier naturel, soit le groupe des matrices triangulaires supérieures avec des sur la diagonale, c'est-à-dire le groupe Alors, un groupe unipotent peut être défini comme étant un groupe isomorphe à un sous-groupe d'un certain . En utilisant la théorie des schémas, le groupe peut être défini comme le schéma en groupes et un schéma en groupes affine est unipotent si c'est un sous-schéma en groupes fermé de ce schéma. Un élément x d'un groupe algébrique affine est unipotent si l'opérateur de translation à droite associé, rx, sur l'anneau de coordonnées affines A[G] de G est localement unipotent en tant qu'élément de l'anneau des endomorphismes linéaires de A[G]. (Ici, « localement unipotent » signifie que la restriction à tout sous-espace stable de dimension finie de A[G] est unipotente au sens habituel de la théorie des anneaux.) Un groupe algébrique affine est dit unipotent si tous ses éléments sont unipotents. Tout groupe algébrique unipotent est isomorphe à un sous-groupe fermé du groupe des matrices triangulaires supérieures dont les coefficients diagonaux valent 1, et inversement tout tel sous-groupe est unipotent.