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Concept
Corps de décomposition
Résumé
En mathématiques et plus précisément en algèbre dans la théorie des corps commutatifs, un corps de décomposition, ou parfois corps des racines ou encore corps de déploiement, d'un polynôme P non nul est une extension de corps minimale sur laquelle P est scindé. On montre qu'un polynôme non nul possède toujours un corps de décomposition, unique à isomorphisme près, et que celui-ci est une extension finie et normale.
Si de plus le polynôme est séparable, c'est une extension de Galois. La théorie de Galois s'applique alors, en particulier le théorème de l'élément primitif et le théorème fondamental de la théorie de Galois.
Étant donnés un corps commutatif K et un polynôme P non nul à coefficients dans K, un corps de décomposition de P sur K est une extension L de K telle que :
P est scindé sur L, c’est-à-dire produit de polynômes du premier degré dans L[X] ;
les racines de P dans L engendrent L sur K, c'est-à-dire qu'il n'existe aucun autre sous-corps de L que lui-même contenant K et les racines de P.
Dans une clôture algébrique Ω donnée, il existe une unique sous-extension de Ω qui soit aussi un corps de décomposition de P : c'est la sous-extension de Ω engendrée par les racines de P dans Ω. En général, tout corps de décomposition de P est isomorphe à ce sous-corps de Ω.
Proposition. — Tout polynôme non nul P de K[X] possède un corps de décomposition, unique à isomorphisme près. Celui-ci est une extension finie de K, et c'est une sous-extension de toute extension sur laquelle P est scindé.
L'existence et l'unicité à isomorphisme près peuvent se démontrer directement (sans supposer, comme ci-dessus, l'existence et l'unicité à isomorphisme près d'une clôture algébrique).
Existence d'un corps de décomposition L de degré fini :elle se démontre par récurrence sur le degré du polynôme P, en itérant la construction de corps de rupture.En effet si P est constant ou de degré 1, K est un corps de décomposition de P.
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