Équation linéaire

Une équation à coefficients réels ou complexes est dite linéaire quand elle peut être présentée sous la forme ax = b ou, de manière équivalente ax – b = 0, où x est l'inconnue, a et b sont deux nombres donnés. Si a est différent de zéro, la seule solution est le nombre x = b/a. Plus généralement, une équation est dite linéaire lorsqu'elle se présente sous la forme u(x) = b, où u est une application linéaire entre deux espaces vectoriels E et F, b étant un vecteur donné de F. On recherche l'inconnue x dans E. La linéarité permet d'effectuer des sommes et des combinaisons linéaires de solutions, ce qui est connu en physique sous le nom de principe de superposition. Les espaces ont des structures d'espaces vectoriels ou affines. Les méthodes de l'algèbre linéaire s'appliquent et peuvent considérablement aider à la résolution. Les équations linéaires à coefficients réels sont les équations les plus simples à la fois à exprimer et à résoudre. Elles ont donc un intérêt en pédagogie des mathématiques, pour enseigner la mise en place de la méthode de résolution générale : mise en équation, application d'une méthode de résolution. D'un point de vue concret, un certain nombre de phénomènes physiques peuvent se modéliser par une loi linéaire (ou loi proportionnelle). Une équation linéaire est l'expression d'un problème dont le phénomène peut se modéliser par une telle loi. Enfin, des lois plus complexes peuvent prendre une forme linéaire : soit en la transformant par une fonction, soit par changement de variable ; par exemple, une loi en puissance y = Kxn (ou K et n sont des constantes) se transforme en loi linéaire par application du logarithme, ln y = ln K + n ln x ; soit par linéarisation, par exemple par développement limité du premier ordre. Soient u une application linéaire de E dans F, et b un vecteur de F. On considère l'équation linéaire u(x) = b. L'équation u(x) = 0, dite équation homogène associée a pour solution le noyau de u, qui est un sous-espace vectoriel de E.