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Concept
Algèbre de Lie
Résumé
En mathématiques, une algèbre de Lie, nommée en l'honneur du mathématicien Sophus Lie, est un espace vectoriel qui est muni d'un crochet de Lie, c'est-à-dire d'une loi de composition interne bilinéaire, alternée, et qui vérifie la relation de Jacobi. Une algèbre de Lie est un cas particulier d'algèbre sur un corps.
Définitions, exemples et premières propriétés
Définition
Soit K un corps commutatif.
Une algèbre de Lie sur K est un espace vectoriel \mathfrak{g} sur K muni d'une application bilinéaire (x,y) \mapsto [x,y] de \mathfrak{g}\times\mathfrak{g} dans \mathfrak{g} qui vérifie les propriétés suivantes :
\forall x \in \mathfrak{g},\ [x,x]=0 ;
\forall x,y,z \in \mathfrak{g},\ [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0.
Le produit [x,y] est appelé crochet de Lie (ou simplement crochet) de x et y. Puisque le crochet est une fonction bilinéaire alternéSource officielle
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