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Concept
Commutateur (opérateur)
Résumé
Un commutateur est un opérateur introduit en mathématiques et étendu à la mécanique quantique.
En mathématiques, le commutateur donne une idée de la façon dont une loi n'est pas commutative. Il existe plusieurs définitions utilisées en théorie des groupes et en théorie des anneaux.
Soit un groupe et soient et deux éléments du groupe. On appelle commutateur de et l'élément du groupe défini par :
Remarque : Un commutateur représente en fait le défaut de « permutabilité » de deux éléments du groupe : .
Le commutateur est égal à l'élément neutre du groupe si et seulement si et sont permutables (c'est-à-dire si ).
D'autre part, le sous-groupe engendré par l'ensemble des commutateurs est appelé le groupe dérivé noté ou le sous-groupe des commutateurs de .
Si est réduit à l'élément neutre alors le groupe est un groupe abélien.
Remarquons que nous devons considérer le sous-groupe engendré par les commutateurs parce qu'en général l'ensemble des commutateurs n'est pas fermé pour cette loi. Les commutateurs sont utilisés pour définir les groupes nilpotents.
Note : Certains auteurs préfèrent définir le commutateur de et par
Dans la suite, la loi est notée multiplicativement et l'expression désigne le conjugué (par ) de l'élément c'est-à-dire .
La deuxième identité est aussi connue sous le nom didentité de Hall-Witt. Il s'agit d'une identité de la théorie des groupes analogue à l'identité de Jacobi de la théorie des commutateurs dans les anneaux (voir la section suivante).
Le commutateur de deux éléments et d'un anneau est défini par
Il est nul si et seulement si et sont permutables.
En utilisant le commutateur comme un crochet de Lie, toute algèbre associative sur un corps peut être considérée comme une algèbre de Lie. Le commutateur de deux opérateurs sur un espace de Hilbert est un concept important en mécanique quantique puisqu'il mesure à quel point deux descriptions d'observables par des opérateurs peuvent être mesurés simultanément. Le principe d'incertitude est finalement un théorème sur les commutateurs.
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