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Concept
Forme bilinéaire symétrique
Résumé
En algèbre linéaire, une forme bilinéaire symétrique est une forme bilinéaire qui est symétrique. Les formes bilinéaires symétriques jouent un rôle important dans l'étude des quadriques.
Soit V un espace vectoriel de dimension n sur un corps commutatif K. Une application est une forme bilinéaire symétrique sur l'espace si () :
Les deux derniers axiomes impliquent seulement la linéarité par rapport à la « première variable » mais le premier permet d'en déduire la linéarité par rapport à la « deuxième variable ».
Tout produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique.
Soit une base d'un espace vectoriel V. Définissons la matrice carrée A d'ordre n par . La matrice A est symétrique d'après la symétrie de la forme bilinéaire. Si la matrice x de type représente les coordonnées d'un vecteur v dans cette base, et de façon analogue y représente les coordonnées d'un vecteur w, alors est égal à :
Supposons que soit une autre base de V, considérons la matrice de passage (inversible) S d'ordre n de la base C à la base C. Dans cette nouvelle base, la représentation matricielle de la forme bilinéaire symétrique est donnée par
Une forme bilinéaire symétrique est toujours réflexive. Par définition, deux vecteurs v et w sont orthogonaux pour la forme bilinéaire B si , ce qui, grâce à la réflexivité, est équivalent à .
Le noyau d'une forme bilinéaire B est l'ensemble des vecteurs orthogonaux à tout autre vecteur de V. C'est un sous-espace de V. Lorsqu'on travaille avec une représentation matricielle A relativement à une certaine base, un vecteur v représenté par sa matrice colonne des coordonnées x appartient au noyau si et seulement si , ce qui est équivalent à .
La matrice A est non inversible (ou « singulière ») si et seulement si le noyau de B n'est pas réduit au sous-espace nul.
Si W est un sous-espace vectoriel de V, alors , l'ensemble de tous les vecteurs orthogonaux à tout vecteur de W est aussi un sous-espace de V. Lorsque le noyau de B est trivial, la dimension de est .
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