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Concept
Application linéaire
Résumé
En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte l'addition des vecteurs et la multiplication scalaire, et préserve ainsi plus généralement les combinaisons linéaires. L’expression peut s’utiliser aussi pour un morphisme entre deux modules sur un anneau, avec une présentation semblable en dehors des notions de base et de dimension.
Cette notion étend celle de fonction linéaire en analyse réelle à des espaces vectoriels plus généraux.
Soient E et F deux espaces vectoriels sur un corps K. Une application f : E → F est dite K-linéaire (ou « morphisme de K-espaces vectoriels ») si elle vérifie à la fois
additivité
homogénéité
Ces deux propriétés peuvent être vérifiées simultanément par la caractérisation suivante :
ou plus simplement :
De façon équivalente, une application f : E → F est linéaire si et seulement si son graphe est un sous-espace vectoriel de E × F.
L'ensemble des applications linéaires de E dans F est généralement noté L(E, F) ou L(E ; F) voire Hom(E, F), avec un indice souvent omis et implicite lorsqu'il est facile à dériver du contexte.
Un isomorphisme d'espaces vectoriels est un morphisme bijectif. On note Isom(E, F) l'ensemble des isomorphismes de E sur F ;
Un endomorphisme est un morphisme ayant même espace vectoriel de départ et d'arrivée. On note L(E) l'ensemble L(E, E) des endomorphismes de E ;
Un automorphisme est un endomorphisme bijectif. On note GL(E) le groupe des automorphismes de E (appelé aussi le groupe linéaire de E) ;
Si l'espace vectoriel d'arrivée est le corps K, on parle de forme linéaire. On note E* l'ensemble des formes linéaires sur E (appelé aussi espace dual de E).
Étant donné un espace vectoriel E sur un corps K, toute famille de scalaires (a, ... , a) ∈ K définit une application linéaire
de l’ensemble E des n-uplets de vecteurs vers E.
En particulier, toute homothétie vectorielle x ↦ a.x est linéaire.
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