Système formelUn système formel est une modélisation mathématique d'un langage en général spécialisé. Les éléments linguistiques, mots, phrases, discours, etc., sont représentés par des objets finis (entiers, suites, arbres ou graphes finis...). Le propre d'un système formel est que la correction au sens grammatical de ses éléments est vérifiable algorithmiquement, c'est-à-dire que ceux-ci forment un ensemble récursif.
Paradoxe de RichardLe paradoxe de Richard est le paradoxe suivant, qui apparaît lorsqu'une théorie des ensembles n'est pas suffisamment formalisée : Son auteur, le mathématicien français Jules Richard, professeur au lycée de Dijon, le décrivit dans une lettre au directeur de la Revue générale des Sciences Pures et Appliquées. Ce dernier décida de la publier, sous forme d'un court article, dans le numéro du de cette revue. Il a joué un rôle important dans les recherches sur les fondements des mathématiques, en particulier au début du , et a suscité depuis sa publication en 1905 de nombreux commentaires.
Formalism (philosophy of mathematics)In the philosophy of mathematics, formalism is the view that holds that statements of mathematics and logic can be considered to be statements about the consequences of the manipulation of strings (alphanumeric sequences of symbols, usually as equations) using established manipulation rules. A central idea of formalism "is that mathematics is not a body of propositions representing an abstract sector of reality, but is much more akin to a game, bringing with it no more commitment to an ontology of objects or properties than ludo or chess.
MétathéorieUne métathéorie, ou méta-théorie, est une théorie dont l'objet est une théorie, comme cela est illustré par la citation de Stephen Hawking : Dans un sens plus restreint et spécifique, en logique mathématique, une métathéorie est une théorie mathématique qui a pour objet une autre théorie mathématique. Le paradoxe de Richard a pour origine la confusion entre la théorie (la théorie des ensembles en l'occurrence) et la métathéorie à un moment où cette distinction n'était pas claire en logique mathématique.
Système axiomatiqueEn mathématiques, un système axiomatique est un ensemble d'axiomes dont certains ou tous les axiomes peuvent être utilisés logiquement pour dériver des théorèmes. Une théorie consiste en un système axiomatique et tous ses théorèmes dérivés. Un système axiomatique complet est un type particulier de système formel. Une théorie formelle signifie généralement un système axiomatique, par exemple formulé dans la théorie des modèles. Une démonstration formelle est une interprétation complète d'une démonstration mathématique dans un système formel.
MétalogiqueLa métalogique est l'étude de la métathéorie de la logique. Alors que la logique étudie comment des systèmes logiques peuvent être utilisés pour construire un argument valide et correct, la métalogique concerne les vérités qui peuvent être dérivées des langages et des systèmes qui sont utilisés pour exprimer des vérités. Les objets de base de l'étude métalogique sont les langages formels des systèmes formels, et leurs interprétations.
MétalangageUn métalangage est un formalisme conçu pour décrire rigoureusement un langage. Un langage est décrit par une grammaire, et la description de sa grammaire est son métalangage. Ainsi le langage des expressions rationnelles ou la forme de Backus-Naur en informatique sont des métalangages. Un métalangage ne décrit pas seulement la syntaxe, il sert aussi à décrire la sémantique. Un langage qui est son propre métalangage pour la syntaxe et la sémantique est dit réflexif.
MétathéorèmeIn logic, a metatheorem is a statement about a formal system proven in a metalanguage. Unlike theorems proved within a given formal system, a metatheorem is proved within a metatheory, and may reference concepts that are present in the metatheory but not the object theory. A formal system is determined by a formal language and a deductive system (axioms and rules of inference). The formal system can be used to prove particular sentences of the formal language with that system.
Primitive recursive arithmeticPrimitive recursive arithmetic (PRA) is a quantifier-free formalization of the natural numbers. It was first proposed by Norwegian mathematician , as a formalization of his finitistic conception of the foundations of arithmetic, and it is widely agreed that all reasoning of PRA is finitistic. Many also believe that all of finitism is captured by PRA, but others believe finitism can be extended to forms of recursion beyond primitive recursion, up to ε0, which is the proof-theoretic ordinal of Peano arithmetic.
Axiomes de Hilbertthumb|right|David Hilbert Dans un mémoire paru en 1899, Les fondements de la géométrie (Grundlagen der Geometrie), David Hilbert propose une axiomatisation de la géométrie euclidienne. Ce sont ces axiomes, qui ont été révisés au cours des éditions successives par Hilbert lui-même, ou des axiomes directement inspirés de sa présentation que l'on appelle axiomes de Hilbert.
