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Concept
Régression multivariée par spline adaptative
Résumé
La Régression multivariée par spline adaptative (en anglais MARS pour ) est une méthode statistique ; plus précisément, c'est une forme de modèle de régression présentée pour la première fois par Jerome H. Friedman et Bernard Silverman en 1991. C'est une technique de régression non paramétrique pouvant être vue comme une extension des régressions linéaires qui modélisent automatiquement des interactions et des non-linéarités. Le terme MARS est une marque de Salford Systems.
Soit une matrice de variables d'entrées x, et un vecteur de réponses observées y avec une réponse pour chaque ligne de x. Par exemple :
Ici il y a une seule variable indépendante, aussi la matrice x est réduite a une seule colonne. Un modèle linéaire pour les données ci-dessus serait :
frame|right|Un modèle linéaire.
où est l'estimation de y par les données. La figure à droite montre une droite décrivant en fonction de x avec les valeurs réelles de y sous la forme de points rouges.
Aux valeurs extrêmes de x, il semble que la relation entre x et y ne soit pas linéaire (regarder les valeurs de y pour des valeurs basses et les valeurs hautes de x). Nous nous tournons alors vers MARS pour prendre automatiquement en compte les non-linéarités. MARS construit un modèle à partir des données x et y de la manière suivante :
frame|right|Un simple modèle MARS de même valeur.
La figure à droite montre une estimation qui est plus proche des valeurs réelles de y. MARS a automatiquement créé un angle dans la droite précédente pour tenir compte de la non-linéarité des données à l'aide de fonctions charnières qui sont des expressions commençant par (où vaux si , sinon).
Les fonctions charnières sont décrites plus en détail ci-dessous.
Dans cet exemple simple nous pouvons voir graphiquement que y et x sont reliées non-linéairement entre elles (et on peut même supposer que y varie en fonction du carré de x). En général il peut y avoir plusieurs variables indépendantes et la relation entre y et ces variables peut ne pas être facilement découverte en regardant simplement une courbe.
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