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Concept
Régression non paramétrique
Résumé
La régression non paramétrique est une forme d'analyse de la régression dans lequel le prédicteur, ou fonction d'estimation, ne prend pas de forme prédéterminée, mais est construit selon les informations provenant des données. La régression non paramétrique exige des tailles d'échantillons plus importantes que celles de la régression basée sur des modèles paramétriques parce que les données doivent fournir la structure du modèle ainsi que les estimations du modèle.
On dispose de données numériques que l'on suppose corrélées. Une des grandeurs, notée , est appelée variable expliquée. Les autres sont regroupées dans une variable dite explicative qui est un vecteur :
On dispose de situations ( jeux de valeurs) formant un nuage de points :
La régression consiste à trouver une fonction, appelée prédicteur
telle que le résidu
soit le « plus petit possible » ; on estime alors que le prédicteur « décrit bien » les données. On peut ainsi écrire
ou encore
Dans le cas de la régression paramétrique, on part d'un prédicteur dont la forme générale est connue. C'est une fonction qui s'exprime par un jeu de paramètre avec . Le cas le plus simple est celui de la régression linéaire :
et l'on cherche à minimiser le résidu quadratique
Dans le cas de la régression non paramétrique, on ne part pas d'une forme de fonction connue. Le cas le plus simple est celui du lissage d'une courbe : à partir du nuage de points initial, on détermine un nouveau nuage de point présentant des variations moins abruptes (dérivable).
Le modèle additif consiste à simplifier la recherche du prédicteur en considérant que c'est la somme de fonctions d'une seule variable :
où les fonctions sont des fonctions « lisses » (dérivables). Chaque fonction est estimée à partir des données.
Il existe des variations autour de ce concept :
modèle semi-paramétrique : certaines fonctions sont linéaires, ;
modèle avec interactions : on introduit dans la somme des fonctions de deux variables .
Source officielle
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